2019_2020学年高中数学第2章平面向量章末复习课学案北师大版必修4

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1、第2章平面向量平面向量的线性运算【例1】　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是(　　)A．(7，－2)　　B．(1，－2)C．(1，－3)D．(7,2)(2)设D为△ABC所在平面内一点，则＝3，则(　　)A.＝－＋B.＝－C.＝－D.＝－＋(1)A　(2)D　[(1)∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2)，故选A.(2)∵＝3，∴－＝3(－)，∴2＝3－，∴＝－.]向量线性运算的基本

2、原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.(2)求解策略：①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.②字符表示线性运算的常用技巧：,首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝.③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用.④

3、注意常见结论的应用.如△ABC中，点D是BC的中点，则＋＝.1．(1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.(2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.(1)　(2)　－　[(1)因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得(2)因为＝2，所以＝.因为＝，所以＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－.又＝x＋y，所以x＝，y＝－.]平面向量的数量积【例2】　(1)设单位向量m＝

4、(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则

5、x＋2y

6、＝________.(2)已知两个单位向量a，b的夹角θ为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.(1)　(2)2　[(1)因为单位向量m＝(x，y)，则x2＋y2＝1.①若m⊥b，则m·b＝0，即2x－y＝0.②由①②解得x2＝，所以

7、x

8、＝，

9、x＋2y

10、＝5

11、x

12、＝.(2)法一：因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0.又因为

13、a

14、＝

15、b

16、＝1，θ＝60°，所以t＋1－t＝0，所以

17、t＝2.法二：由t＋(1－t)＝1知向量a，b，c的终点A、B、C共线，在平面直角坐标系中设a＝(1,0)，b＝，则c＝.把a、b、c的坐标代入c＝ta＋(1－t)b，得t＝2.]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝

18、a

19、

20、b

21、cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.2．已知两个单位向量e1，e

22、2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.－6　[b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×1×1×－8＝－6.]向量的夹角及垂直问题[探究问题]1．怎样求两个不共线向量的夹角？[提示]　对两个不共线向量a，b，通过平移使它们的起点相同，这两个有公共起点的向量的夹角就是a与b的夹角．2．两向量所成的角与两直线所成角的区别是什么？[提示]　两向量所成的角，不一定是两向量所在的直线所成的角，因为前者的取值范围为[0°，18

23、0°]，而后者的取值范围为[0°，90°]．这一点经常容易混淆，一定要注意．3．用数量积判断两向量夹角时应注意什么？[提示]　当θ＝0°时，有a·b>0，此时a与b共线且同向，即a·b>0，不能说向量的夹角一定为锐角，同理当θ＝180°时，有a·b<0，但a·b<0，不能说向量的夹角一定为钝角．【例3】　已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．[思路探究]　(1)利用·＝0即可；(2)利用

24、夹角公式cosθ＝求解．[解]　(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)．∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD.(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.设C点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，∴解得∴点C坐标为(0,5)．从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且

25、

26、＝2，

27、

28、＝2，·＝8＋8＝16，设与的夹角为θ，则

29、cosθ

30、＝＝