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时间:2019-11-11
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1、2019-2020年高二6月期末模拟课堂测试数学(理科)试卷含答案一、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中横线上.1.已知(为虚数单位),则________.12.曲线在点处切线的斜率为___________.3.曲线与直线所围成图形的面积为__________.4.设函数的图象为曲线,直线与曲线相切于点.则_________;函数的解析式为_______________.,xyO5.函数的图象如图所示,且在与处取得极值,给出下列判断:①;②;③函数在区间上是增函数.其中正确的判断是___
2、_____.(写出所有正确判断的序号)②③二、解答题:本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.6.(本小题满分8分)已知数列中,,.计算的值,根据计算结果,猜想的通项公式,并用数学归纳法进行证明.7.(本小题满分10分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若定义在区间上的函数对于区间上的任意两个值、总有不等式成立,则称函数为区间上的“凹函数”.试证明:当时,为“凹函数”.8.(本小题满分12分)已知函数,(,为自然对数的底数,).(1)当时,求函数的值域;(2)若对于任意的,都存在,使
3、得,求的取值范围.参考答案及评分标准一、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分(一题两空的题目每空2分).1.;2.;3.;4.,;5.②③.(注:②③选对一个命题得两分。选出错误的命题即得零分).二、解答题:本大题共3小题,共26分.(如有其他方法,仿此给分)6.(本小题满分8分)解:根据已知,,猜测.………………3分证明:①当时,由已知,左边,右边,猜想成立.………………4分②假设当时猜想成立,即,………………5分那么,,………………7分所以,当时,猜想也成立.根据①和②,可知猜想对于任何都成立.………
4、………8分7.(本小题满分10分)解:(1)当时,函数在上是增函数;………………1分由已知,,,………………3分当时,,函数在上是增函数;………………4分当时,解得,解得,所以函数在上是增函数,在上是减函数.………………5分综上,当时,函数在上是增函数;当时,函数在上是增函数,在上是减函数.(2)当时,由(1)知在上的最大值为,即恒成立.所以,.……………6分设,计算,,因为,所以,,………………8分,所以,…………10分所以,即当时,为“凹函数”.8.(本小题满分12分)解:(1)由已知,,,………………2分在
5、区间上,,函数为增函数,在区间上,,函数为减函数,所以,在区间上,函数的最大值为,又,,所以的最小值为.所以在区间上的值域为.………………4分(2)设函数在区间上的值域为,根据题意,若对于任意的,都存在,使得,即.……………5分①当时,,在区间上的值域,符合题意;………………6分由已知,………………7分②当时,在上,,为增函数,在区间上的值域,即,因为,所以符合题意;………………8分③当时,,在上,,为增函数,在区间上的值域,即,因为,所以,,比较与,即比较与,因为,所以,所以.所以,根据题意,需,解得.所以;…
6、……………10分④当时,,在上,,为增函数,在上,,为减函数,在区间上的最大值为,以下比较与,由于,所以,不符合题意.………12分综上,实数的取值范围为.
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