江苏省2019年高三上数学（理）期末考试试卷

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1、高三上学期期末考试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。)1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.复数（为虚数单位）的虚部是（）A.B.C.D.3.当时，执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A.9B.15C.31D.634.等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（）A.15B.16C.18D.205.若，且，则（）A.B.C.D.6.设，分别是正方形的边，上的点，且，，如果（，为实数），则的值为（

2、）．A.B.C.D.7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.61C.62D.738.设不等式组表示的平面区域为，若直线上存在内的点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.9.已知，为的导函数，则的图像是（）A.B.C.D.10.已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.11.设函数存在零点，且，则实数的取值范围是A.B.C.D.12.已知奇函数满足，当时，，则（）A.B.C.D.第II卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知正方

3、体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_____.14.在平面直角坐标系中，已知圆，圆，在圆内存在一定点，过的直线被圆，圆截得的弦分别为，，且，则定点的坐标为_______.15.已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数,使,则实数的最小值是___．16.如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；并测量得到一些数据：，，，，，，，则、两点之间的距离为__________．（其中取近似值）三、解答题(共6小题,共70分。解答应写出文字说明，证明过程

4、或演算步骤。)17.（本小题满分10分）已知的内角所对的边分别为，.（1）；（2）若的平分线交于点，且的面积为，求的长.18.本小题满分12分）已知右焦点为的椭圆与直线相交于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.19.（本题满分12分）已知函数的定义域为，值域为，且对任意，都有，.（Ⅰ）求的值，并证明为奇函数；（Ⅱ）若时，，且，证明为上的增函数，并解不等式.20.（本小题满分12分）已知曲线上任意一点到直线的距离是它到点距离的2倍；曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线．（1

5、）求的方程；（2）设过点的直线与曲线相交于两点，分别以为切点引曲线的两条切线，设相交于点，连接的直线交曲线于两点，求的最小值．21.（本小题满分12分）如图，在边长为的菱形中，.点，分别在边，上，点与点，不重合，，.沿将翻折到的位置，使平面平面.（1）求证：平面；（2）当与平面所成的角为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知.（1）讨论的单调性；（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.理科数学试题答案1.B2.D3.C4.A5.A6.C7.C8.A9.A10.D11.D12.B13.14.15.16.17.(1)(2)【解析】（1）因为，所以.于

6、是，.（2）由可得.设的面积为，∴，∴.则.∵为的平分线，∴，∴.又.∴.在中,由余弦定理可得，∴.18.(1)(2)的面积为定值【解析】（1）设，，则，，即，①，，即，②由①②得，又，，椭圆的方程为．（2）设直线方程为：，由得，为重心，，点在椭圆上，故有，可得，而，点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到），，当直线斜率不存在时，，，，的面积为定值．19.(1),见解析(2)解集为.【解析】（Ⅰ）解：令，得.∵值域为，∴.∵的定义域为，∴的定义域为.又∵，∴，为奇函数.（2），任取∵，∴，∵时，，∴，∴，又值域为，∴，∴.∴为上的增函数.，∵.又为上的增函数，∴.故的解集为.

7、20.（1）曲线的方程，曲线的方程为；（2）最小值为．【解析】（1）设，则曲线的方程，设曲线的方程为，则曲线的方程为（2）设方程为，代入曲线的方程得，由，代入曲线方程得，设，（其中）设，则，故在单调递增，因此，当且仅当即等号成立，故的最小值为21.解析：（1）∵，∴.∵平面平面，平面平面，且平面，∴平面.（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接，∵平面，∴为与平面所成的角，即，∴.设，∵，∴为等边三角形，∴，，.设，则，由，得，即，.∴，，，，.设平面、平面的法向量分别为，，由，取，得.同理，得，