2019-2020年高三数学上学期1月调考试卷 文（含解析）

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2019-2020年高三数学上学期1月调考试卷文（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={1，2，3，4}，集合N={3，4，6}，全集U={1，2，3，4，5，6}，则集合M∩（∁UN）=()A．{1}B．{1，2}C．{3，4}D．{1，2，4，5}2．复数z=的虚部为()A．2B．﹣2C．2iD．﹣2i3．为了得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为()A．2B．4C．﹣2D．﹣45．已知某三棱锥的三视图均为腰长为2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的表面积为()A．6+2B．6+4C．12+4D．8+46．命题“∃x0∈R，2x0≤0”的否定为()A．∀x0∈R，2x0≤0B．∀x0∈R，2x0≥0C．∀x0∈R，2x0＜0D．∀x0∈R，2x0＞07．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是() A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）8．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为()A．+y2=1B．+=1C．+y2=1或+=1D．+y2=1或+x2=19．若数列{an}的前n项和为Sn对任意正整数n都有Sn=2an﹣1，则S6=()A．32B．31C．64D．6310．设函数f（x）=lnx+x﹣a（a∈R），若存在b∈[1，e]，（e为自然对数的底数），使得f（f（b））=b，则实数a的取值范围是()A．[﹣，1﹣]B．[1﹣，ln2﹣1]C．[﹣，ln2﹣1]D．[﹣，0]二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中相应的横线上）11．函数y=的定义域为__________．12．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为__________．13．已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=1交于A，B两点，则直线AB的方程为__________．14．已知α∈（π，2π），cosα=，则等于__________．15．若双曲线C：mx2﹣y2=1（m为常数）的一条渐近线与直线l：y=﹣3x﹣1垂直，则双曲线C的焦距为__________．16．已知m∈R，向量=（m，1），=（﹣12，4），=（2，﹣4）且∥，则向量在向量方向上的投影为__________． 17．设A为曲线M上任意一点，B为曲线N上任意一点，若|AB|的最小值存在且为d，则称d为曲线M，N之间的距离．（1）若曲线M：y=ex（e为自然对数的底数），曲线N：y=x，则曲线M，N之间的距离为__________；（2）若曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，则曲线M，N之间的距离为__________．三、解答题（本大题共5小题，共65分.答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应x值的集合；（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面积．19．（13分）已知数列{an}为等差数列，a1=1，公差d＞0，数列{bn}为等比数列，且a2=b1，a6=b2，a18=b3．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足对任意正整数n均有++…+=an2，m为正整数，求所有满足不等式102＜c1+c2+…+cm＜103的m的值．20．（13分）如图，已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，BC=3，BC1=5，点D在线段AB上，AD=3，BD=2，四边形ACC1A1为正方形．（1）求证：BC⊥AC1；（2）请判断AC1是否平行于平面B1CD（不用证明）；（3）求三棱锥C1﹣CDB1的体积．21．（14分）已知点F是抛物线y2=2px的焦点，其中p是正常数，AB，CD都是抛物线经过点F的弦，且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k＞0，C，A两点在x轴上方．（1）求+；（2）①当|AF|•|BF|=p2时，求k；②设△AFC与△BFD的面积之和为S，求当k变化时S的最小值． 22．（13分）已知函数f（x）=+alnx，其中a为实常数．（1）求f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2∈[1，3]，且x1＜x2，恒有﹣＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求a的取值范围．xx学年湖北省六校联考高三（上）1月调考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={1，2，3，4}，集合N={3，4，6}，全集U={1，2，3，4，5，6}，则集合M∩（∁UN）=()A．{1}B．{1，2}C．{3，4}D．{1，2，4，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．解答：解：∵M={1，2，3，4}，N={3，4，6}，全集U={1，2，3，4，5，6}，∴∁UN={1，2，5}，则M∩（∁UN）={1，2}，故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．复数z=的虚部为()A．2B．﹣2C．2iD．﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简后得答案．解答：解：∵z==，∴复数z=的虚部为﹣2．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．为了得到函数的图象，只需将函数y=cos2x的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率可得结论．解答：解：函数=cos2（x﹣）， 故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．4．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为()A．2B．4C．﹣2D．﹣4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（0，2）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．此时z的最小值为z=0﹣2=﹣2，故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5．已知某三棱锥的三视图均为腰长为2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的表面积为()A．6+2B．6+4C．12+4D．8+4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用三棱锥的表面积公式求出该几何体的表面积．解答：解：由三视图得，该几何体为底面和两个侧面为直角边边长为2的等腰直角三角形，另外一个侧面是一个边长为2的等边三角形， 故该棱锥的表面积为S=3××2×2+×=6+2，故选：A点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决．6．命题“∃x0∈R，2x0≤0”的否定为()A．∀x0∈R，2x0≤0B．∀x0∈R，2x0≥0C．∀x0∈R，2x0＜0D．∀x0∈R，2x0＞0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题是特称命题，则“∃x0∈R，2x0≤0”的否定为：∀x0∈R，2x0＞0，故选：D点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．7．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是()A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）考点：选择结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内， ∴x∈[﹣2，﹣1]故选B点评：本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键．8．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为()A．+y2=1B．+=1C．+y2=1或+=1D．+y2=1或+x2=1考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的性质，得a=2b，再讨论焦点的位置，即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程．解答：解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，由于椭圆经过点（2，0），则若焦点在x轴上，则a=2，b=1，椭圆方程为=1；若焦点y轴上，则b=2，a=4，椭圆方程为=1．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意讨论焦点位置，考查运算能力，属于基础题和易错题．9．若数列{an}的前n项和为Sn对任意正整数n都有Sn=2an﹣1，则S6=()A．32B．31C．64D．63考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出{an}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出S6．解答：解：∵Sn=2an﹣1，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣1）﹣（2an﹣1﹣1）=2an﹣2an﹣1，∴an=2an﹣1，当n=1时，S1=a1=2a1﹣1，解得a1=1，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴S6==63．故选：D．点评：本题考查数列的前6项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．10．设函数f（x）=lnx+x﹣a（a∈R），若存在b∈[1，e]，（e为自然对数的底数），使得f（f（b））=b，则实数a的取值范围是()A．[﹣，1﹣]B．[1﹣，ln2﹣1]C．[﹣，ln2﹣1]D．[﹣，0] 考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．解答：解解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b），其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数因此命题“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，转化为“存在b∈[1，e]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[1，e]，∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[1，e]，令：lnx+x﹣a=x，则方程在[1，e]上一定有解∴a=lnx﹣x，设g（x）=lnx﹣x则g′（x）=﹣=，当g′（x）=0．解得x=2，∴函数g（x）=在[1，2]为增函数，在[2，e]上为减函数，∴g（x）≤g（2）=ln2﹣1，g（1）=﹣，g（e）=1﹣e，故实数a的取值范围是[﹣，ln2﹣1]故选：C点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中相应的横线上）11．函数y=的定义域为．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的性质，得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故答案为：（，1）∪（1，+∞）．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了对数函数的性质，是一道基础题．12．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为5．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：∵x＞1，∴函数y=2x+=2x﹣1++1+1=5，当且仅当x=时取等号．∴函数y=2x+的最小值为5．故答案为：5．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．13．已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=1交于A，B两点，则直线AB的方程为x﹣y﹣1=0．考点：圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程．专题：直线与圆．分析：将两个方程相减，即可得到公共弦AB的方程，然后根据半弦长与弦心距及圆半径，构成直角三角形，满足勾股定理，易求出公共弦AB的长．解答：解：圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=1交于A，B两点，则直线AB的方程为：x2+y2﹣1﹣[（x﹣1）2+（y+1）2﹣1]=0即x﹣y﹣1=0故答案为：x﹣y﹣1=0．点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，其中将两个圆方程相减，直接得到公共弦AB的方程可以简化解题过程．14．已知α∈（π，2π），cosα=，则等于﹣．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：先根据角的范围求出正切值，再求tan（）．解答：解：由α∈（π，2π），cosα=，则，∴sinα=﹣=﹣，tanα=﹣，∴tan（）==﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系式与诱导公式的应用，属于基础题．15．若双曲线C：mx2﹣y2=1（m为常数）的一条渐近线与直线l：y=﹣3x﹣1垂直，则双曲线C的焦距为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用两直线垂直的条件，即斜率之积为﹣1，求得渐近线的斜率，求出双曲线的渐近线方程，得到m的方程，解得m，再求c，即可得到焦距．解答：解：由于双曲线的一条渐近线与直线l：y=﹣3x﹣1垂直，则该条渐近线的斜率为，双曲线C：mx2﹣y2=1的渐近线方程为y=x，则有=，即有m=．即双曲线方程为﹣y2=1． 则c=，即有焦距为2．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线，考查两直线垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．16．已知m∈R，向量=（m，1），=（﹣12，4），=（2，﹣4）且∥，则向量在向量方向上的投影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量共线的坐标表示，求得m=﹣3，再由数量积公式求得向量a，c的数量积，及向量a的模，再由向量在向量方向上的投影为，代入数据即可得到．解答：解：由于向量=（m，1），=（﹣12，4），且∥，则4m=﹣12，解得，m=﹣3．则=（﹣3，1），=﹣3×2﹣4=﹣10，则向量在向量方向上的投影为==﹣．故答案为：﹣点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，考查向量共线和投影的概念，考查运算能力，属于基础题．17．设A为曲线M上任意一点，B为曲线N上任意一点，若|AB|的最小值存在且为d，则称d为曲线M，N之间的距离．（1）若曲线M：y=ex（e为自然对数的底数），曲线N：y=x，则曲线M，N之间的距离为；（2）若曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，则曲线M，N之间的距离为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．专题：导数的综合应用；直线与圆．分析：（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．利用导数的几何意义可得切点P（0，1），代入y=x+t，解得t=1．可得切线方程为y=x+1．即可得出曲线M，N之间的距离．（2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=﹣x对称．设与直线：y=﹣x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），利用导数的几何意义可得切点，利用平行线之间的距离公式即可得出．解答：解：（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．∵y′=ex，∴，∴x0=0．∴y0=1．∴切点P（0，1），∴1=0+t，解得t=1．∴切线方程为y=x+1．∴曲线M，N之间的距离==．（2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=﹣x对称．设与直线：y=﹣x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y）， 由曲线N：x2+1+y=0，y′=﹣2x，令﹣2x=﹣1，解得x=，y=﹣．切点P到直线y=﹣x的距离d==．∴曲线M，N之间的距离为．故答案为：，．点评：本题考查了利用导数的几何意义可得切线的斜率、两条平行线之间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共65分.答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应x值的集合；（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面积．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）首先根据三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出最值和对应的区间．（2）直接利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出bc的值，进一步求出三角形的面积．解答：解：（1）=∴∴（2）由∴在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣bc又∴12=（b+c）2﹣3bc=36﹣3bc，bc=8所以点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最值，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用．属于基础题型．19．（13分）已知数列{an}为等差数列，a1=1，公差d＞0，数列{bn}为等比数列，且a2=b1，a6=b2，a18=b3．（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足对任意正整数n均有++…+=an2，m为正整数，求所有满足不等式102＜c1+c2+…+cm＜103的m的值． 考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已条条件推导出8d2﹣8a1d=0，由d＞0，a1=1，{an}为等差数列，得an=n，从而b1=2，b2=6，b3=18，{bn}为等比数列，由此能求出．（2）由，得，由此能求出m=4，或m=5．解答：解：（1）由已知a2，a6，a18成等比数列，∴，8d2﹣8a1d=0…由d＞0，a1=1，{an}为等差数列，∴a1=d=1，an=n，…又b1=2，b2=6，b3=18，{bn}为等比数列，∴．…（2）∵，∴，∴c1=1…当，相减得综合得…，c1+c2+c3=55，c1+c2+c3+c4=244c1+c2+c3+c4+c5=973，c1+c2+c3+c4+c5+c6=3646，∴m=4，或m=5．…（13分）点评：本题考查数列{an}和数列{bn}的通项公式的求法，考查所有满足不等式102＜c1+c2+…+cm＜103的m的值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．20．（13分）如图，已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，BC=3，BC1=5，点D在线段AB上，AD=3，BD=2，四边形ACC1A1为正方形．（1）求证：BC⊥AC1；（2）请判断AC1是否平行于平面B1CD（不用证明）；（3）求三棱锥C1﹣CDB1的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离．分析：（1）运用勾股定理得出BC⊥AC，BC⊥CC1而CC1∩AC=C，再用判断定理得出BC⊥平面AA1C1C，BC⊥AC1（2）根据直线平面平行的判断定理推导得出：AC1与平面B1CD不平行，（3）根据体积公式得出．解答：解：（1）∵在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，△BCC1中，BC=3，CC1=4，BC1=5，∴BC⊥CC1而CC1∩AC=C，．∴BC⊥平面AA1C1C，BC⊥AC1．（2）AC1与平面B1CD不平行．（3）由已知易知AC⊥平面BCC1，AB：DB=5：2，∴=，点评：本题考查了空间直线平面的平行，垂直，体积，面积问题，属于中档题，难度不大．21．（14分）已知点F是抛物线y2=2px的焦点，其中p是正常数，AB，CD都是抛物线经过点F的弦，且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k＞0，C，A两点在x轴上方．（1）求+；（2）①当|AF|•|BF|=p2时，求k；②设△AFC与△BFD的面积之和为S，求当k变化时S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设，由，得，由此利用韦达定理、抛物线定义，结合已知条件得．（2）①=，由此能求出．②由|CF|•|DF|=（k2+1）p2，，能求出当k=1时，S有最小值2p2．解答：解：（1）设由，得，由韦达定理，得：… 由抛物线定义得同理，用，∴．…（2）①=…当时，，又k＞0，解得…②由①同理知|CF|•|DF|=（k2+1）p2，，由变形得，…又AB⊥CD，∴=…∴当k=1时，S有最小值2p2…（14分）点评：本题考查+的求法，考查直线斜率的求法，考查两个三角形的面积之和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（13分）已知函数f（x）=+alnx，其中a为实常数．（1）求f（x）的极值；（2）若对任意x1，x2∈[1，3]，且x1＜x2，恒有﹣＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），求导，由导数的正负确定函数的单调性及极值；（2）恒成立可化为对∀x1，x2∈[1，3]，x1＜x2恒成立，从而可得在[1，3]递增，在[1，3]递减；从而化为导数的正负问题．解答：解：（1）由已知f（x）的定义域为（0，+∞），，当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；当时，f（x）有极小值a﹣alna，无极大值；当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，f（x）无极值；（2）∵恒成立，∴对∀x1，x2∈[1，3]，x1＜x2恒成立；即对∀x1，x2∈[1，3]，x1＜x2恒成立； ∴在[1，3]递增，在[1，3]递减；从而有对x∈[1，3]恒成立；∴．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的转化与应用，属于难题．