期权定价的数值方法_

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1、第八章期权定价的数值方法主要内容二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟有限差分方法二叉树模型的基本方法无套利定价法构造投资组合包括D份股票多头和1份看涨期权空头当SuD–ƒu=SdD–ƒd，则组合为无风险组合SuD–ƒuSdD–ƒdSD–ƒ无套利定价法（续）组合在T时刻价值为SuD–ƒu组合现值应为：(SuD–ƒu)e–rT组合现值的另外一个表达式为：SD–f因此：ƒ=SD–(SuD–ƒu)e–rT无套利定价法（续）将代入上式，可以得到：其中：风险中性定价法在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利

2、率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：同样可以推得：证券价格的树型结构倒推定价法得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。举例说明假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该

3、股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。利用倒退定价法，可以推算出初始结点处的期权价值为4.48元。续为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可以算出：美式看跌期权二叉树二叉树方法的一般定价过程以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成N个长度为的小区间，令表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值，同时用表示结点处的证券价格，可得：后，假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：支付连续红利率资产的期权定价当标的资产支付连续收益率为q的红利时

4、，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q，因此：其中支付已知红利率资产的期权定价如果时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为：如果时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，已知红利额假设红利数额已知且波动率为常数时的二叉树图已知红利额把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，其价值用表示，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值，假设在期权有效期内只有一次红利。利率是时间依赖的情形P=0.5的二叉树图三叉树图三叉树图:一些参数控制方差技术控制方差技术是数值方

5、法的一个辅助技术，可以应用在二叉树模型、蒙特卡罗模拟和有限差分方法上。其基本原理为：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。适应性网状模型在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长进一步细分，如分为，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程，这样使得树图更好地反映了实际情形，从而大大提高了定价的效率和精确程度。隐含树图通过构建一个与目前市场上的

6、期权价格信息相一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相应概率二叉树定价模型的深入理解二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概

7、率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。实际上，当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克－舒尔斯偏微分方程。蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟是一种通过模拟标的资产价格的随机运动路径得到期权价值期望值的数值方法，也是一种应用十分广泛的期权定价方法基本过程：蒙特卡罗模拟要用到风险中性定价原理，其基本思路是：由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报的期望值的折现，因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之

8、后贴现可以得到期权价值。蒙特卡罗模拟的技术实现在风险中性世界中，为了模拟的路径，我们把期权的有效期分为N个长度为△t时间段，则上式的近似方程为或举例说明假设无红利的股票价格运动服从式（8.12），年预期收益率为14％，收益波动率为每年20％，时间步长为0.01年，则根据式（8.12）有通过不断从标准正态分布样本中抽取的值，代入上式，我们可以得到股票价格运动的一条路径。表：股票价格模拟每步开始时的股票