平面及其基本性质(1)

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1、平面及其基本性质（1）一.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。二.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。三.平面的画法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：aß通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。四.平面的表示方法：ABCD平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示。如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC平面BD等。五.用数学符号来表示点、

2、线、面之间的位置关系：ABa点A在直线a上：记为：A∈a点B不在直线a上：记为：B∈a点A在平面α上：记为：A∈α点B不在平面α上：记为：B∈αAα(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：B(3)直线与平面的位置关系：直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。　记为：a∩α＝A直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平面α平行。　记为：a∩α＝φ或a∥α.αaαAaαa(4)平面与平面的位置关系：αβαβaβα当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合。当两个不同

3、平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成集合a，称平面α与平面β相交。　　　　记：α∩β＝a。当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行。记：α∩β＝φ或α∥β。五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：BaA∈aB∈aA∈αB∈αααaαAbaAABb∩α＝Aa∩α＝φ或a∥ααβαβaβαα∩β＝aα∩β＝φ或α∥βΑ与β重合例1.画出两个竖直放置的相交平面。例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B都在直线a上；（2）平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内且平行于直线m.αβmaαABa例3.把下列

4、图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来。αAalαβlaABαβlaAB空间中的点、直线、平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示．例如:在长方体ABCD—A1B1C1D1中ＡＢＣＤＡ1B1C1D1·P·M位置关系符号表示点P在直线AB上点c不在直线AB上点M在平面AC内点A1不在平面AC内直线AB与直线BC交于点B直线AB在平面AC内直线AA1不在平面AC内P∈ABC∈ABM∈平面ACA1∈平面ACAB∩BC=B∩AB平面AC∩AA1平面AC练习平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光

5、就能检查桌面是否平整．应　用：ＡＢ公理１怎样用符号示？直线Ｌ∩Ａ∈Ｂ∈Ａ∈ＬＢ∈Ｌ公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．公理２用符号表示：Ｐ∈Ｐ∈直线ＡＢ∩公理２说明了空间中的什么问题？它可以帮助我们解决哪些几何问题？公理２揭示了两个平面相交的主要的特征，提供了在空间确定两个平面交线的一种方法。合作交流：1.自行车的撑脚一般安装在自行车的什么位置？能不能安装在前后轮一条直线的地方？2.照相机支架需要几条腿？两条行不行？三条在一条线上行不行？探讨：根据刚才的两个实例，你得到怎么样的一个结论？公理3经过不在同一条直

6、线上的三点，有且只有一个平面不共线的三点A,B,C的平面通常记作〝平面ABC〞你是怎么样来理解公理3中的“有且只有一个”这句话的？讨论：答：“有且只有一个”的含义：是存在性和唯一性。注意：条件中提到三点不共线的含义。推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(图9－7(1))．推论2经过两条相交直线有且只有一个平面(图9－7(2))．推论3经过两条平行直线有且只有一个平面(图9－7(3))．例4如图9－8，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面．