第十一章 梁弯曲时的强度计算

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1、第十一章梁弯曲时的强度计算1回顾与比较内力应力FAyFSM目录2在横截面上，只有法向内力元素σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素τdA才能合成剪力3LaaFF纯弯曲梁——梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪力（）。横力弯曲梁——梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力（纯弯曲横力弯曲横力弯曲Fa(+)M-x图M-F(+)Fs(-)Fa纯弯曲时，横截面上有正应力而无剪应力）§11-1纯弯曲4§11-2纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：一、变形几何关系用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:变形几何关系物理关系静力学关系5等直梁纯弯曲梁正应力分析前提:(a)小变形

2、,在弹性变形范围内(b)满足平面弯曲条件(c)纯弯曲实验观察:2.凹边缩短，凸边伸长1.横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。1、研究对象：等直细长矩形截面纯弯曲梁3.纵向线间无挤压作用6横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。由现象1梁在纯弯曲时的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。7由现象2中性层中性轴凹边缩短，凸边伸长中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不缩短的层面。中性轴——中性层与横截面的交线。单向受力状态:设梁有无数纵向纤维构成,则这些纤维处于单向受拉或受压状态,即横截面上只有正应

3、力。8理论分析（1）变形几何关系变形后P——曲率中心y——任意纵向纤维至中性层的距离——中性层的曲率半径弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力mmnndxabyabnmP9纵向纤维bb:变形前变形后所以纵向纤维bb的应变为:横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。mmnndxabyabPnm10（2）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律对一定材料，E=C；对一定截面，横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力M中性轴y11（3）静力平衡关系z(中性轴)y(对称轴)xMM由得=0将(*)式代入，得中性轴通过截面形心，并垂直于载荷作用

4、面。dAdA截面对z轴的静矩弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力12考虑平衡条件弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力zyxMdAdA截面对中性轴的惯性矩,反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。13——抗弯刚度。正应力的计算公式为横截面上最大正应力为弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力由及——抗弯截面模量，反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。14中性层中性轴凹边缩短，凸边伸长中性轴——中性层与横截面的交线。15CL8TU5横截面上的应力分布图：16矩形截面梁在纯弯曲时的正应力的分布的特点:1.中性轴上线应变为零,故正应力亦为零。2.距中性轴距离相等的各点，其线应变相等，故

5、正应力亦相等3.图示受力情况下，中性轴上部各点正应力为负值，下部各点正应力为正值4.正应力沿Y轴线性分布。横截面上任一点正应力的计算公式横截面上最大正应力为M17矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：1.竖放：zbhz´hb平放：18矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：zd2.3.dzD必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式19注意事项：（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的正应力，并确定该点到中性轴的距。（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线

6、性分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大。（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正负号可根据弯矩的正负或梁的变形状态来确定。20梁弯曲时的正应力计算例:图示矩形截面悬臂梁，承受均布载荷q作用。已知q=10N/mm，l=300mm。b=20mm，h=30mm。求B截面上c、d两点的正应力。lqABFsqABMBbhcdh/4zy解：（1）求B截面上的弯矩由截面法，求得：(2)求B截面上c、d处的正应力21§11-3横力弯曲时的正应力正应力强度计算上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。对于横力弯曲，由于剪力的存

7、在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。22弯曲正应力强度条件：可解决三方面问题：（1）强度校核，即已知检验梁是否安全；（2）设计截面，即已知可由确定截面的尺寸；（3）求许可载荷，即已知可由确定。弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力23例1一简支梁受力如图所示。已知，空心圆截面的内外径之比，试选择截面直径D。弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力解:1.计算支反力L=4mABq=0.5KN/mFAFBFA=FB=1KN2.绘弯矩图,找危险截面(+)由强度条件xM24分析（1）确定危险截面