梁弯曲内力及强度计算

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1、第6章梁弯曲内力及强度计算§6-1弯曲切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力σ，又有剪应力τ。但一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1．矩形截面梁对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q。现分析距中性轴z为y的横线aa上的剪应力1分布情况。根据剪应力成对定理，横线aa两端的剪1应力必与截面两侧边相

2、切，即与剪力Q的方向一致。由于对称的关系，横线aa中点处的剪应力也必与Q1的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想aa线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q。又因截1面高度h大于宽度b，剪应力的数值沿横线aa不可1能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力Q。2）剪应力沿截面宽度均匀分布。基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图6-6b所示。梁的横截面尺寸如图6-6c所示

3、，现欲求距中性轴z为y的横线aa处的剪应力τ。1过aa用平行于中性层的纵截面aacc自111dx微段中截出一微块（图6-6d）。根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力τ′。微块左右侧面上正应力的合力分别为N和N，其中12My1M*N=σdA=dA=S1∫I∫zA*A*IzIz1（a）(M+dM)y1(M+dM)*N=σdA=dA=S(b)2∫II∫zA*A*IzIz**式中，A为微块的侧面面积，σ(σ)为面积A中距中性轴III*为y处的正应力，S=ydA。1z∫1*A由微块沿x方向的平衡

4、条件∑x=0，得−N+N−τ′bdx=0（c）12将式（a）和式（b）代入式（c），得dM*S−τ′bdx=0zIz*dMSz故τ′=dxbIzdM因=Q,τ′=τ，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力τ为dx*QSzτ=（6-3）bIz式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q为截面上的剪力；I为整个截面对中性轴z∗*z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；S为面积A对中性轴的静矩。y对于矩形截面梁（图6-7），可取dA=bdy，于是1h2*2bh2S=ydA=bydy=(−y)z∫

5、1∫y1124A这样，式（6-3）可写成2Qh2τ=(−y)2I4z上式表明，沿截面高度剪应力τ按抛物线规律变化（图6-7b）。在截面上、下边缘处，2hy=±,τ=0；在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为23Qτ=（6-4）max2A式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的3倍。22．圆形截面梁在圆形截面上（图6-8），任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，1并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均

6、匀分布，其值为最大。由式（6-3）求得4Qτ=（6-5）max3Aπ2式中A=d，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力的44倍。33．工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图6-9所示。最大剪应力在中性轴上，其值为∗Q(S)zmaxτ=maxdIZ∗式中（S）为中性轴一侧截面面积对中性轴的静zmaxI矩。对于轧制的工字钢，式中的z可以从型*(S)zmax钢表中查得。计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.95~0

7、.97）Q，因此也可用下式计算τ的近似值maxQτ≈maxhd1式中h为腹板的高度，d为腹板的宽度。13§6-2弯曲强度计算根据前节的分析，对细长梁进行强度计算时,主要考虑弯矩的影响，因截面上的最大正应力作用点处，弯曲剪应力为零，故该点为单向应力状态。为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件Mymaxmaxσ=≤[σ]（6-6）maxIz式中[σ]为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件（6-6）可表达

8、为Mmaxσ=≤[σ]（6-7）maxWz式中IzW=（6-8）zymax333称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为[长度]。国际单位用m或mm。对于宽度为b、高度为h的矩形截面，抗弯截面系数为3bh212bhW==（6-9）zh26直径为d的圆截面，抗弯截面系数为π4d364πdW==（6-10）zd322内径为d，外径为D的空心圆截面，抗弯截面系数为4πD()41−α364πD4dW==()1−α，α=（6-11）zD32D2轧