平面弯曲梁的强度和刚度计算

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第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1纯弯曲时横截面的正应力一．纯弯曲试验：纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。　　为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象： ①横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度；②纵向线（包括轴线）都变成了弧线；③梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：①平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。②单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。 　　可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。二．梁横截面上的正应力分布： 　图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为： 对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常数，因此上式说明同一截面处任一点纵向纤维的线应变与该点到中性层的距离成正比。由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得： 由上式可知，横截面上任一点的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性变化，在中性轴处，y=0，所以正应力也为零。 　　三．梁的正应力计算：  在梁的横截面上任取一微面积dA，作用在这微面积上的微内力为σdA，在整个横截面上有许多这样的微内力。微面积上的微内力σdA对z轴之矩的总和，组成了截面上的弯矩则式中称为横截面对中性轴的惯性矩，是截面图形的几何性质，仅与截面形状和尺寸有关。　　上式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。应用时M及y均可用绝对值代入，至于所求点的正应力是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况，由纤维的伸缩来确定，即以中性轴为界，梁变形后靠凸的一侧受拉应力，靠凹的一侧受压应力。也可根据弯矩的正负来判断，当弯矩为正时，中性轴以下部分受拉应力，以上部分受压应力，弯矩为负时，则相反。　　横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处。即令则 WZ称为抗弯截面模量，也是衡量截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状和尺寸有关。　　弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的情况下导出来的。对于一般的梁来说，横截面上除弯矩外还有剪力存在，这样的弯曲称为剪切弯曲。在剪切弯曲时，横截面将发生翘曲，平截面假设不再成立。但较精确的分析证明，对于跨度l与截面高度h之比l/h>5的梁，计算其正应力所得结果误差很小。在工程上常用的梁，其跨高比远大于5，因此，计算式可足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况。§8-2常用截面二次矩平行移轴公式一、常用截面二次矩：1、矩形截面：2、圆形截面与圆环形截面：①圆形截面：IZ＝Πd4/64WZ＝Πd3/32②圆环形截面：IZ＝Π（D4－d4）/64WZ＝Πd3{1-(d/D)4}/32 3、型钢的截面：查表，见附录。二．组合截面二次矩平行移轴公式：计算弯曲正应力时需要截面对中性轴的惯性矩，截面的中性轴又是截面的形心主轴。在截面上任一点K，取邻域dA，K点到z轴、y轴的距离分别为y、z，定义y2dA、z2dA为微元对z轴、y轴的惯性矩，分别记作：dIz=y2dAdIy=z2dA上式对整个截面积分，得截面对z轴、y轴的惯性矩：图所示的截面形心为C，面积为A，zc轴、yc轴通过截面形心C，现有不通过形心的z轴、y轴分别与zc轴、yc轴平行，两轴之间的距离分别为a、b，截面对z轴、zc轴以及对y轴、yc轴的惯性矩有以下关系：IZ=IZc+a2AIY=IYc+b2A上式称为惯性矩的平行移轴公式，即截面对任一轴z的惯性矩等于该截面对过形心而平行于z轴的zc轴的惯性矩加上两轴之间的距离的平方与截面面积的乘积见教材P146例题8.1。 §8-3弯曲正应力强度计算为保证梁安全地工作，危险点处的正应力必须小于梁的弯曲许用应力[σ]，这是梁的正应力强度条件。对于塑性材料，其抗拉和抗压强度相同，宜选用中性轴为截面对称轴的梁，其正应力强度条件为：对于脆性材料，其抗拉和抗压强度不同，宜选用中性轴不是截面对称轴梁，并分别对抗拉和抗压应力建立强度条件：对于中性轴不是截面的对称梁，其最大拉应力值与最大压应力值不相等。如图所示的T形截面梁，最大拉应力和最大压应力分别为：强度条件可解决三类强度计算问题：①强度校核：验算梁的强度是否满足强度条件，判断梁在工作时是否安全。 ②截面设计：根据梁的最大载荷和材料的许用应力，确定梁截面的尺寸和形状，或选用合适的标准型钢。　　③确定许用载荷：根据梁截面的形状和尺寸及许用应力，确定梁可承受的最大弯矩，再由弯矩和载荷的关系确定梁的许用载荷。注：对于非对称截面，需按公式分别计算三类问题。【例】图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝30MPa，许用压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。   解：1、求支座反力：FA=2.5kNFB=10.5kN 画出弯矩图，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即C点为上压下拉，而B点为上拉下压。2、求出B截面最大应力：最大拉应力（上边缘）最大压应（下边缘）3、求出C截面最大应力：最大拉应力（下边缘）最大压应力（上边缘）最大拉应力在C点且σCmax=28.83MPa<[σ]＋=30MPa最大压应力在B点且σBmax=46.13MPa<[σ]－＝60MPa故梁强度足够。见教材P147例题8.2/8.3/8.4。师生小结：1、纯弯曲的定义及应用；2、梁的弯曲强度计算；3、应用。  §8-5梁的弯曲变形概述梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变形不能超过一定的范围，否则就会影响梁的正常工作。一、挠曲线方程：悬臂梁在纵向对称面内的外力P的作用下将发生平面弯曲，变形后梁的轴线将变为一条光滑的平面曲线，称为梁的挠曲轴线，也称弹性曲线、挠曲线。y=f(X)→梁的绕曲线方程。二、挠度和转角：梁上任一截面C，变形后其形心在C/处，C截面的形心产生线位移CC/。CC/既有水平分量，也有垂直分量，而水平分量很小，只讨论垂直分量C/C//。截面形心位移的垂直分量称该截面的挠度，用y表示。C截面不但产生线位移，还产生了角位移，横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角位移称转角，用θ表示。挠度和转角的正负号作如下规定：挠度与y轴正方向同向为正，反之为负；截面转角以逆时针方向转动为正，反之为负。只要知道梁的挠曲轴线方程y=f(x)，就可求出挠度和转角。 §8-6用叠加法求梁的变形一、挠曲轴线近似微分方程：梁任一截面的曲率：…………(1)曲线y=f(x)的曲率：…………(2)代入（1）式得：…………(3)式（3）称梁的挠曲轴线微分方程。由于y/很小，y/2更小，可忽略。方程的正负号与弯矩M的正负号的规定以及挠度的正方向规定有关，规定挠度向上为正。弯矩M与曲线的二阶导数y//的正负号关系为：1）梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下侧纤维受拉，弯矩M>0，曲线的二阶导数y//>0；2）梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的上侧纤维受拉，弯矩M<0，曲线的二阶导数y//<0。由此可知，这两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，上式应取正号，即： 注：书本P153表8.1给出了梁在简单载荷下的挠曲线方程，端截面转角和最大挠度。二、用叠加法求梁的变形：小变形时梁弯曲挠度的二阶导数与弯矩成正比，而弯矩是载荷的线性函数，所以梁的挠度与转角是载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。举例：外伸梁在外伸段作用有均布载荷q，梁的抗弯刚度为EI，求C截面的挠度。解：把外伸梁段上的均布载荷向B截面简化，得集中力qa，力偶qa2/2，将使B截面产生转角θB，BC段的实际变形等于固定端产生转角θB的悬臂梁。C截面的挠度由以下两部分构成：悬臂梁由于B截面产生转角引起的挠度yC1和悬臂梁在载荷下产生的挠度yC2。首先计算B截面转角θB： 三、梁的刚度条件：梁除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件，即工作中的梁的挠度和转角不能太大。设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和θmax，而[y]和[θ]分别为挠度和转角的许用值，则梁的刚度条件为：ymax≤[y]θmax≤[θ]举例：简支梁选用32a工字钢，P=20KN，l=8.86m，E=210Gpa，梁的许用挠度[f]=l/500，试校核梁的刚度。解：查表得：IZ=11100cm4。查表得梁的跨中挠度为：，； 因为y<[f]，所以梁满足刚度条件。见教材P155例题8.6。§8-7提高梁的强度和刚度的措施1、合理安排梁的支承：均布载荷作用在简支梁上时，最大弯矩与跨度的平方成正比，如能减少梁的跨度，将会降低梁的最大弯矩。举例：2、合理地布置载荷：（P158图8.20）使梁上载荷分散布置，可以降低最大弯矩。举例： 3、选择梁的合理截面：①根据抗弯截面系数与截面面积比值Wz/A选择截面：抗弯截面系数越大，梁能承受载荷越大；横截面积越小，梁使用的材料越少。同时考虑梁的安全性与经济性，可知Wz/A值越大，梁截面越合理。以下比较具有同样高度h的矩形、圆形和工字形（槽形）截面的Wz/A值：高为h、宽为b的矩形截面：直径为h的圆形截面：。高为h的工字形与槽形截面：。可见这三种截面的合理顺序是：1）工字形与槽形截面；2）矩形截面；3）圆形截面。截面形状的合理性，可以从梁截面弯曲正应力的分布规律说明，梁截面的弯曲正应力沿截面高度呈线性变化，截面边缘处的正应力最大，中性轴处的正应力值为零，中性轴附近的材料没有得到充分的应用，如果减少中性轴附近的材料，而把材料布置到距中性轴较远处，截面形状则较为合理，所以，工程上常采用工字形、圆环形、箱形等截面形式。 ②根据材料的拉压性能选择截面：对于塑性材料，其抗拉强度和抗压强度相等，宜采用中性轴为截面对称轴的截面，使最大拉应力与最大压应力相等。如矩形、工字形、圆环形、圆形等截面形式。对于脆性材料，其抗压强度大于抗拉强度，宜采用中性轴不是对称轴的截面，如T形截面，使中性轴靠近受拉端，使得：