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时间:2019-11-05
《2019_2020学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2奇偶性讲义新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.2 奇偶性最新课程标准:结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.知识点 偶、奇函数1.偶函数的概念一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction).2.奇函数的概念一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction).3.奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是
2、奇函数.(2)偶函数的图象关于y轴对称;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数. 奇偶函数的定义域关于原点对称,反之,若定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.[教材解难] 教材P85思考(1)利用定义判断奇偶性,函数f(x)=x3+x的定义域为R,对每一个x,都有f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)由奇函数的图象关于原点对称可画出y轴左边的图象.如图所示.(3)我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性,只不过它是一种特殊的对称性,是关于原点或y轴对称的问题.
3、[基础自测]1.设f(x)是定义在R上的偶函数,下列结论中正确的是( )A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0C.f(x)·f(-x)<0D.f(0)=0解析:由偶函数的定义知f(-x)=f(x),所以f(-x)-f(x)=0,f(-x)+f(x)=0不一定成立.f(-x)·f(x)=[f(x)]2≥0,f(0)=0不一定成立.故选B.答案:B2.下列函数为奇函数的是( )A.y=
4、x
5、B.y=3-xC.y=D.y=-x2+14解析:A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.答案:C3.若
6、函数y=f(x),x∈[-2,a]是偶函数,则a的值为( )A.-2B.2C.0D.不能确定解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以-2+a=0,所以a=2.答案:B4.下列图象表示的函数是奇函数的是________,是偶函数的是________.(填序号)解析:(1)(3)关于y轴对称是偶函数,(2)(4)关于原点对称是奇函数.答案:(2)(4) (1)(3)题型一 函数奇偶性的判断[教材P84例6]例1 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5;(3)f(x)=x+;(4)f(x)=.【解析】 (1)函数f(x)=x4
7、的定义域为R.因为∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以,函数f(x)=x4为偶函数.(2)函数f(x)=x5的定义域为R.因为∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以,函数f(x)=x5为奇函数.(3)函数f(x)=x+的定义域为{x
8、x≠0}.因为∀x∈{x
9、x≠0},都有-x∈{x
10、x≠0},且f(-x)=-x+=-=-f(x),所以,函数f(x)=x+为奇函数.(4)函数f(x)=的定义域为{x
11、x≠0}.因为∀x∈{x
12、x≠0},都有-x∈{x
13、x≠0},且f(-x)===f
14、(x),所以,函数f(x)=为偶函数.奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质,所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域,再由奇偶性定义,满足f(-x)=f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)是奇函数.教材反思函数奇偶性判断的方法(1)定义法:(2)图象法:若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.此法多用在解选择、填空题中.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x2(x2+2);(2)f(x)=
15、x+1
16、-
17、x-1
18、;(3)f(x)=;(4)f(x)=解析:(1)∵x∈R,∴-x∈R.又∵f(-x)=
19、(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),∴f(x)为偶函数.(2)∵x∈R,∴-x∈R.又∵f(-x)=
20、-x+1
21、-
22、-x-1
23、=
24、x-1
25、-
26、x+1
27、=-(
28、x+1
29、-
30、x-1
31、)=-f(x),∴f(x)为奇函数.(3)f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1].即有-1≤x≤1且x≠0,则-1≤-x≤1,且-x≠0,又∵f(-x)==-=-f(x),∴f(x)为奇函数.(4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);当x<0时,-x>0,f(-
32、x)=1+(-x)=1-x=f(x).综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x)
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