高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性奇偶性的应用讲义新人教A版

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1、第2课时　奇偶性的应用学习目标核心素养1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式．2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.用奇偶性求解析式【例1】　(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．[思路点拨]　(1)(2)[解]　(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又

2、∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)＝(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由f(x)＋g(x)＝，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝.把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]　∵f(x)是奇函数，g(x)

3、是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，即f(x)－g(x)＝.②联立①②得f(x)＝，g(x)＝.利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.函数单调性和奇偶性的综合问题[探究问题]1．如果奇函数f(

4、x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？提示：如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？提示：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小

5、关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则

6、a

7、<

8、b

9、.角度一　比较大小问题【例2】　函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)A．f(1)

10、上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)A　[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特

11、征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵

12、－2

13、＜

14、－3

15、＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]角度二　解不等式问题【例3】　已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)

16、)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.,由