一次函数的综合应用题

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1、一次函数的综合应用题（江苏泰州市二附中李军）函数的综合应用题往往综合性强，覆盖面广，包含的数学思想方法多。它能真正考查学生运用所学知识解决实际问题的能力。一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，通常是以图象信息的形式出现。1、成本与利润问题。例1：一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超

2、过1000人时，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式和成本费用s（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式；⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）解析：⑴由图象可知：当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析y=kx-100，∵（10，400）在y=kx-100上，∴400=10k-100，解得k=50∴y=50x-100，

3、s=100x-(50x-100)，∴s=50x+100⑵当10

4、解得x=10.2s=50x+100=50×10.2+100=610。要使这次表演会获得36000元的毛利润.要售出920张或1020张门票，相应支付的成本费用分别为56000元或61000元。点评：此题是借助函数图象确定函数关系式，从而进行经济决策的经济问题。题中需注意提示和分段函数的分情况讨论。2、行程问题。例2：甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数

5、解析式；（不要求写出自变量的取值范围）⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；⑶在⑵的条件下，设乙同学从A点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙同学相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？解析：⑴设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为s=kt，s=kt。由题意得：6=2k，6=3k，解得：k=3，k=2∴s=3t，s=2t⑵当甲到达山顶时，s=12（千米），∴12=3t解得

6、：t=4∴s=2t=8（千米）⑶由图象可知：甲到达山顶宾并休息1小时后点D的坐标为（5，12）由题意得：点B的纵坐标为12-=，代入s=2t，解得：t=∴点B（，）。设过B、D两点的直线解析式为s=kx+b，由题意得t+b=解得：k=-65t+b=12b=42∴直线BD的解析式为s=-6t+42∴当乙到达山顶时，s=12，得t=6，把t=6代入s=-6t+42得s=6（千米）点评：借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键。3、饮水问题。例3：教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们到饮水机前用茶杯接水。假设接水

7、过程中水不发生泼洒，每个学声所接的水量是相等的。两个放水管同时打开时，它们的流量相同。放水时先打开一个水管，过一会再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着。饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)的函数关系如下图所示：⑴求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x(分钟)（x≥2）的函数关系式；⑵如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水接束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？⑶按⑵的放法，求出在课间10分钟内最多有多少个同学能及时接完水？解析：⑴设存水量y与放水时间x的函数解析式为y=kx+b,把（2，17）、（12，8）

8、代入y=kx+b,得17=2k+b解得k=-b=8=12k+b∴y=-x+(2≤x≤)⑵由图象可得每个同学接水量为0.25升，则前22个同学需接水0.25×22=5.5（升），存水量y=18-5.5=12.5（升）∴12.5=-x+解得x=7∴前22个同学接水共