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《高中数学第二章2.3.2向量数量积的运算律学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.2 向量数量积的运算律基础知识基本能力1．掌握平面向量数量积的运算律及常用恒等式．(重点)2．理解数量积运算律的适用范围，并注意与实数乘法、数乘向量运算律的区别与联系．(难点、易错点)1．能正确地运用数量积的运算律进行相关的计算或证明．(重点)2．要注意运算律可以双向使用，并要知道数量积运算不满足结合律，也就是说，一般情况下(a·b)c≠a(b·c)．(难点、易错点)向量数量积的运算律已知向量a，b，c与实数λ，则a·b＝b·aλ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)(a＋b)·c＝a·c＋b·c【自主测试1】下列命题正确的是( )A．
2、a·b
3、＝
4、a
5、
6、b
7、B．a·b≠0⇔
8、a
9、
10、＋
11、b
12、≠0C．a·b＝0⇔
13、a
14、
15、b
16、＝0D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c答案：D【自主测试2】向量m和n满足
17、m
18、＝1，
19、n
20、＝，且m⊥(m－n)，则m与n夹角的大小为( )A．30°B．45°C．75°D．135°解析：设m与n的夹角为θ，则由m⊥(m－n)，知m·(m－n)＝0，即m2－m·n＝0，∴m·n＝m2＝
21、m
22、2＝1，∴cosθ＝＝＝，∴θ＝45°.答案：B【自主测试3】已知
23、a
24、＝4，
25、b
26、＝5，且a，b的夹角为60°.求：(1)a2－b2；(2)(2a＋3b)·(3a－2b)．解：(1)a2－b2＝
27、a
28、2－
29、b
30、2＝42－52＝－9；(2)(2a＋3b)·(3a－
31、2b)＝6a2＋5a·b－6b2＝6×16＋5×4×5cos60°－6×25＝－4.向量数量积的运算不满足结合律剖析：向量数量积的运算不满足结合律，即等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，下面给出说明：思路一：举反例．如图所示，设＝a，＝b，＝c，且
32、
33、＝1，
34、
35、＝2，
36、
37、＝3，〈，〉＝，〈，〉＝，则〈，〉＝，∴a·b＝
38、a
39、
40、b
41、cos〈a，b〉＝1，b·c＝
42、b
43、
44、c
45、cos〈b，c〉＝3.∴(a·b)·c＝c，a·(b·c)＝3a.很明显c＝3a不成立，∴(a·b)·c＝a·(b·c)不成立．故等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．思路二：下面用向量数量积的几何意义来分
46、析．由于向量的数量积是实数，则设a·b＝λ，b·c＝μ.则(a·b)·c＝λc，a·(b·c)＝μa.由于c，a是任意向量，则λc＝μa不一定成立．故等式(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．题型一有关向量的数量积、模、垂直等的计算【例题1】设O为△ABC的外心，OD⊥BC于点D，且
47、
48、＝，
49、
50、＝1，则·(－)的值是( )A．1B．2C．D．解析：由O是△ABC的外心及OD⊥BC可知，D为边BC的中点，将变形为(＋)，再利用数量积的运算律求解．答案：A反思求解本题时，要注意几何性质的应用，将向量进行适当转化，转化的目的是用上已知条件．另外，求平面向量的数量积时，常用到以下结论：(1)a
51、2＝
52、a
53、2；(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c.【例题2】已知
54、a
55、＝1，
56、b
57、＝，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a，b的夹角为60°，求
58、a＋b
59、.分析：(1)根据数量积的定义求解；(2)利用关系式a2＝
60、a
61、2可使向量的长度与向量的数量积互相转化．解：(1)∵a∥b，∴a与b的夹角为0或π.当a与b的夹角为0时，a·b＝
62、a
63、·
64、b
65、cos0＝1××cos0＝；当a与b的夹
66、角为π时，a·b＝
67、a
68、·
69、b
70、cosπ＝1××(－1)＝－.(2)
71、a＋b
72、2＝
73、a
74、2＋
75、b
76、2＋2
77、a
78、·
79、b
80、cos60°＝12＋()2＋2×1××＝3＋.故
81、a＋b
82、＝.反思利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2＝a·a＝
83、a
84、2或
85、a
86、＝.(2)
87、a±b
88、＝＝.【例题3】已知
89、a
90、＝5，
91、b
92、＝4，且a与b的夹角为60°，若向量ka－b与a＋2b垂直，求k的值．分析：由(ka－b)⊥(a＋2b)，得(ka－b)·(a＋2b)＝0，展开求解即可．解：∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，即ka2＋(2k－1)a·b－
93、2b2＝0，即k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0.解得k＝，故若向量ka－b与向量a＋2b垂直，则k的值为.反思(1)对数量积的运算律要熟练掌握．(2)非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，对于解决平面几何图形中的垂直问题有很大帮助，应熟练掌握．题型二有关几何证明问题【例题4】如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高．求证：AD，BE，CF相交于一点．分析：解答本题可先设两条高交
