2017_18版高中数学第三章数系的扩充与复数习题课复数学案

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1、习题课　复　数明目标、知重点　1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；(4)除法：＝＋i(z2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正

2、整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.2．共轭复数与复数的模(1)若z＝a＋bi，则＝a－bi，z＋为实数，z－为纯虚数(b≠0)．(2)复数z＝a＋bi的模，

3、z

4、＝，且z·＝

5、z

6、2＝a2＋b2.3．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1＋z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．题型一　复数的四则运算例1　(1)计算：＋201

7、2＋5；(2)已知z＝1＋i，求的模．解　(1)原式＝＋1006＋＝i＋(－i)1006＋0＝－1＋i.(2)＝＝＝1－i，∴的模为.反思与感悟　复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．跟踪训练1　(1)已知＝2＋i，则复数z等于(　　)A．－1＋3iB．1－3iC．3＋iD．3－i答案　B解析　方法一　∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.方法二　设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴＝a－bi，∴＝2＋i，∴，z＝

8、1－3i.(2)i为虚数单位，则2011等于(　　)A．－iB．－1C．iD．1答案　A解析　因为＝＝i，所以2011＝i2011＝i4×502＋3＝i3＝－i，故选A.题型二　复数的几何意义例2　已知点集D＝{z

9、

10、z＋1＋i

11、＝1，z∈C}，试求

12、z

13、的最小值和最大值．5解　点集D的图象为以点C(－1，－)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则

14、

15、＝

16、z

17、.由图知，当OP过圆心C(－1，－)时，与圆交于点A、B，则

18、z

19、的最小值是

20、OA

21、＝

22、OC

23、－1＝－1＝2－1＝1，即

24、z

25、min＝1；

26、z

27、的最大值是

28、O

29、B

30、＝

31、OC

32、＋1＝2＋1＝3，即

33、z

34、max＝3.反思与感悟　复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：

35、z1－z2

36、表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．跟踪训练2　已知复数z1，z2满足

37、z1

38、＝3，

39、z2

40、＝5，

41、z1－z2

42、＝，求

43、z1＋z2

44、的值．解　如图所示，设z1，z2对应点分别为A，B，以，为邻边作▱OACB，则对应的复数为z1＋z2.这里

45、

46、＝3，

47、

48、＝5，

49、

50、＝.∴cos∠AOB＝＝＝.∴cos∠OBC＝－.又

51、

52、＝

53、

54、＝3，∴

55、z1＋z

56、2

57、＝

58、

59、＝＝.题型三　两个复数相等例3　设复数z和它的共轭复数满足4z＋2＝3＋i，求复数z.解　设z＝a＋bi(a，b∈R)．因为4z＋2＝3＋i，所以2z＋(2z＋2)＝3＋i.2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整体代入上式，5得2z＋4a＝3＋i.所以z＝＋.根据复数相等的充要条件，得解得所以z＝＋.反思与感悟　两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3　是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单

60、位)，则z等于(　　)A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i答案　D解析　方法一　设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi.∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.方法二　∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.1．以1＋2i的虚部为实部，以3i－2的实部为虚部的新复数是(　　)A．2－2iB．2＋iC．3＋iD．2＋3i答案　A2．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是(　　)

61、A．x＝3，y＝3B．x＝5，y＝1C．x＝－1，y＝－1D．x＝－1，y＝1答案　D解析　x－2＝3x，y＝－(－1)，即x＝－1，y＝1.3．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z等于(　　)A．1＋iB．1－iC．2＋2iD．2－2i答案　B