2017_18学年高中数学第二章函数2.3函数的应用(Ⅰ)学案

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1、2.3　函数的应用(Ⅰ)[学习目标]　1.明确一次函数、二次函数、分段函数可作为数学模型解有关应用题.2.初步掌握数学建模的方法.3.通过数学建模的应用，培养应用意识.[预习导引]常见函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝ax＋ba≠0二次函数模型一般式y＝ax2＋bx＋ca≠0顶点式y＝a(x－h)2＋ka≠0解决学生疑难点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　要点一　一次函数模型例1　大气中的温度

2、随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在－55℃.(1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求0≤x≤12时，a，x，y间的函数关系式；(2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？解　(1)由题意知y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx.∵当x＝12时，y＝－55，∴－55＝a＋12k，解得k＝－，∴当0≤x≤12时，y＝a－x，6∴所求的函数关系式为y＝a－x(0≤x≤12).(2)当a

3、＝29，x＝3时，y＝29－×3＝8(℃)，即当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃.规律方法　用一次函数模型解决实际问题时，要注意分析数量关系的特征.对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a＞0时为增函数，当a＜0时为减函数.另外要结合题目理解(0，b)或(－，0)这些特殊点的意义.跟踪演练1　如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需要付电话费________元；(2)通话5分钟，需要付电话费______

4、__元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________.答案　(1)3.6　(2)6　(3)y＝1.2t(t≥3)解析　(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元.(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元.(3)当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，则解得故y关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3).要点二　二次函数模型例2　某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，

5、销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝－2x－x＋13x1＋11x2－28.(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略；(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用)(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略(其中x1，x2∈N).解　(1)∵广告费共5万元，设报纸广告费用x万元，则电视广告费用5－x万元，利润为w万元.∴R＝－2x2－(5－x)2＋13x＋11(5－x)－28(0＜x≤5)6＝－3x2＋12x＋2(0＜x≤5).当x＝2万元时

6、，Rmax＝14万元，此时电视广告费用为3万元.∴w＝14－5＝9(万元).即报纸广告费2万元，电视广告费3万元.(2)∵广告费用不限，∴R(x)＝f(x)＋g(x)－28，其中f(x)＝－2x＋13x1，g(x)＝－x＋11x2，∵x1，x2∈N，∴f(x)max＝f(3)＝21，g(x)max＝f(5)＝f(6)＝30.欲使ω最大，所以g(x)取最大值时x2＝5，此时ω＝21＋30－28－8＝15.即报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元时为最优广告策略.规律方法　在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因

7、为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.跟踪演练2　心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强.(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解　(1)y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－

8、0.1(x－13)2＋59.9.所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；当13≤x≤30时，学生的接受能力逐步下降.(2)当x＝10时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59.即第10分钟时，学生的接受能力为59.(3)当x＝13时，y取最大值.所以，在第13分钟时，学生的接受力最强.要点三　分段函数模型例3　某厂生产某种零件，