2017_18学年高中数学第二章参数方程2.1曲线的参数方程学案

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1、2.1曲线的参数方程[读教材·填要点]定义:设在平面上取定了一个直角坐标系xOy,把坐标x,y表示为第三个变量t的函数a≤t≤b①如果对于t的每一个值(a≤t≤b)①式所确定的点M(x,y)都在一条曲线上;而这条曲线上的任一点M(x,y),都可由t的某个值通过①式得到,则称①式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数.如果从参数方程中消去参数t,就得到联系x和y的方程F(x,y)=0,则方程F(x,y)=0是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程).[小问题·大思维]1.参数方程中的参数t是否一定有实际意义?提示:参数是联系变数x,y的桥梁,可

2、以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.2.曲线的参数方程一定是唯一的吗?提示:同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样.如和(m∈R)都表示直线x=2y+1.将参数方程化为普通方程[例1] 指出下列参数方程表示什么曲线:(1)(t为参数)(2)(t为参数)(3)(t为参数)[思路点拨] 本题考查化参数方程为普通方程的方法.解答此题需要从一个方程中解出t,代入另一个方程.[精解详析] (1)(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,即(x-1)2+(y+2)2=16,表示以(1,-

3、2)为圆心,半径为4的圆.6(2)2+2=cos2t+sin2t=1,即+=1,表示中心在原点,焦点在x轴上的椭圆.(3)x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4,即y2-x2=4.又2t>0,y≥2=2,故y2-x2=4(y≥2),它表示双曲线的上支.(1)将参数方程化为普通方程时,消去参数的常用方法有:①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示),再代入另一个方程.②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.例如,对于参数方程如果t是常数,θ是参数,那么可以利用公式sin2θ+cos2θ=1消参;如果θ是常

4、数,t是参数,那么可以利用(t+)2-(t-)2=4消参.(2)一般来说,如果消去曲线的参数方程中的参数,就可以得到曲线的普通方程,但要注意,这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点,即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的.1.已知曲线的参数方程为0≤θ≤2π.把它化成普通方程,并说明它表示什么曲线.解:由x=sinθ+1,y=cosθ+3可得sinθ=x-1,cosθ=y-3.由sin2θ+cos2θ=1得(x-1)2+(y-3)2=1,∴曲线的普通方程为(x-1)2+(y-3)2=1,它表示以(1,3)为圆心.1为半径的圆.求

5、曲线的参数方程[例2] 经过原点作圆x2-2ax+y2=0的弦,求这些弦的中点的轨迹参数方程.[思路点拨] 本题考查曲线参数方程的求法.解答本题需要先确定参数,然后分别用同一个参数表示x和y.[精解详析] 如图,设OQ是经过原点的任意一条弦,OQ6的中点是M(x,y),设弦OQ和x轴的夹角为θ,取θ作为参数.已知圆的圆心是O′(a,0),连接O′M,那么O′M⊥OQ,过点M作MM′⊥OO′,那么

6、OM

7、=acosθ,∴(θ为参数)这就是所求轨迹的参数方程.(1)求曲线参数方程的主要步骤:第一步,建立直角坐标系,设(x,y)是轨迹上任意一点

8、的坐标,画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系).第二步,选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显,容易列出方程;二是x,y的值可以由参数唯一确定.例如,在研究运动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数.此外,离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数.第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式.(2)求曲线的参数方程时,要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围

9、并标注出来.2.如图所示,OA是圆C的直径,且OA=2a,射线OB与圆交于Q点,和经过A点的切线交于B点,作PQ⊥OA,交OA于D,PB∥OA.试求点P的轨迹的参数方程.解:设P(x,y)是轨迹上任意一点,取∠DOQ=θ.由PQ⊥OA,PB∥OA,得x=OD=OQcosθ=OAcos2θ=2acos2θ,y=AB=OAtanθ=2atanθ.所以P点轨迹的参数方程为(-<θ<)一、选择题61.将参数方程(0≤θ≤2π)化为普通方程为(  )A.y=x-2        B.y=x+2C.y=x-2(2≤x≤3)D.y=x+2(0≤y≤1)

10、解析:选C 化为普通方程:y=x-2,但是x∈[2,3],y∈[0,1].2.当参数θ变化时,由点P(2cosθ,3sinθ)所确定的曲线过点(  )A.(2,3)B.(1,5)C.D.(2,

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