经济计量分析讲义 第5章

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1、经济计量分析第5章统计推断和预测第5章统计推断和预测InferenceandPrediction5.1介绍线性回归模型主要具有三个功能：第一个是估计，这在前面已经进行了比较详细的讨论；第二个是假设检验；第三个是推断和预测。在本章中我们主要讨论古典线性模型的假设检验和预测问题。5.2限制性条件和缩压模型(RestrictionsandNestedModels)假设检验最常见的方法是检验关于参数的约束条件。由于我们开始讨论大样本性质，因此不再要求误差的正态分布假设，而是对数据生成机制的不同假设给出分析。4.2.1最小二乘估计的相合性(Consistencyofthelea

2、stsquaresestimator)假设的生成过程可以不加以指定的，即它可以是常数或者是由与误差独立的随机过程生成的。下面我们做出两个关键假设。(1)，是独立样本观测数据。(2)数据的大样本行为满足：，是正定矩阵由于最小二乘估计可以表示为：则得到：假设其中的解释变量与误差向量的相交项为：因此有：根据解释变量的外生性假设，可以得到：因此有：现在我们考虑方差，利用条件方差公式，可以得到：上式中的第二项为零，而第一项为：因此得到：7经济计量分析第5章统计推断和预测如果解释变量矩阵乘积的极限为正定矩阵的话，则上述方差收敛到零，即因此，由于的均值为零、方差收敛到零，因此可以知

3、道均方收敛到零(convergenceinmeansquaretozero)，因此也可以推导出它按概率收敛到零。因此有：因此有：这说明最小二乘估计按照概率收敛到参数，它古典线性模型中的相合估计。如果时间序列当中包含时间的一次趋势、二次趋势等现象经常违背上述严格假设，此时需要推广一些条件，例如称为Grenander条件等。这是最小二乘估计仍然是相合估计。4.2.2最小二乘估计的渐近正态性(Asymptoticnormalityoftheleastsquaresestimator)我们假设样本观测值之间是独立的，则可以表示下述公式：连续函数的概率收敛定律满足，因此可以得到

4、：因此上述分布的极限分布与下述概率极限的分布相同：这样一来，我们需要寻求下述变量的极限分布：，我们利用多元情形下的Linderberg-Feller中心极限定理来获得上述极限分布，这是个独立随机向量的和的极限问题，的均值为零，而方差矩阵为：则的方差为：在通常假设下，可以得到上述极限为：利用中心极限定理可以得到：总结可以得到：定理4.1独立观测数据的渐近分布如果是具有均值零和方差7经济计量分析第5章统计推断和预测的独立随机变量，并且解释变量数据满足Grenander条件，则有：在具有应用中，需要利用参数的估计量替代分布中的未知参数。4.2.3的相合性和渐近方差的估计为了

5、完成最小二乘估计渐近性质的推导，我们需要得到最小二乘估计方差的渐近估计。类似地推导可以得到：命题最小二乘估计中，有：(1)(2)4.2.4最小二乘系数估计函数的渐近分布在具有应用中，需要利用参数的估计量替代分布中的未知4.2.5渐近有效性前面提出的Gause-Markov定理表明，在有限样本情形下最小二乘估计是最优的。为了建立最小二乘估计更为广泛范围内的优良性质，我们需要给出另外的评价标准。定义4.1渐近有效性(asymptoticefficiency)在所有相合和渐近正态分布的估计量中，如果一个估计量的渐近方差在正定意义下是最小的，则称该估计量是渐近有效的。如果最小

6、二乘估计也是极大似然估计，则最小二乘估计是渐近有效的。4.3工具变量与二阶段最小二乘估计(instrumentalvariableandtwostageleastsquaresestimation)到目前为止，与之间的不相关性假设起到了关键作用。但是，在一些重要的经济问题当中，这样的假设地不到满足，典型的情况是解释变量的度量当中存在误差，或者模型包含涉及到预期的动态过程。如果没有这样的假设，则上述关于最小二乘估计的相合性的证明就都不再成立了，因此对应的最小二乘估计就不再是吸引人的估计了，这时另外一种估计方法被称为工具变量法(instrumentalvariable，I

7、V)，最小二乘估计只是特例，而工具变量方法则更为一般。目前分析的问题是，在古典线性回归模型中，个解释变量可能与误差是相关的。现在假设存在个变量(至少与一样大)，与相关，但与不相关。此时我们无法通过利用解释变量获得参数的相合估计，但是我们可以通过假设、和之间的关系来获得的相合估计。为了方便起见，我们假设样本独立且具有有限矩(这个条件可以拓展到相依样本情形)。其他假设包括：(1)(2)(3)7经济计量分析第5章统计推断和预测(4)(5)(6)(7)(8)在上述假设下可以得到：对于这个更为一般的模型，古典线性模型中的一些推断不再成立了。例如此时最小二乘估计