沪科八下梯形常见辅助线

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1、梯形中常见辅助线的作法.梯形是一种特殊的四边形，在解决有关梯形的问题时，常常需要借助辅助线，将其分割、拼接成三角形、矩形或平行四边形等问题来解决.常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移一腰，转化为三角形、平行四边形作高，转化为两直角三角形和一矩形延长两腰，转化为三角形平移一对角线，转化为三角形、平行四边形连接一顶点与一腰的中点，构造全等三角形 一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。［例1］梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。2、平移两腰：利用梯形中的某个

2、特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。［例2］在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。［例3］在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________［例4］在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15

3、cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。［例5］在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。【变式2】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.变式2变式3【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。［例6］在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。四

4、、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。图72、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。［例8］在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。【变式4】ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．

5、【变式5】直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．【变式6】直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．【变式7】（过顶点作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．五、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。［例9］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。2、已知梯形两条对角线的中

6、点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。［例10］在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）【变式8】　等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点．求证：△PQR是等边三角形．【变式9】（过一腰中点作底边平行线——构造中位线）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线过CD的中点E．3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例10、在梯形ABCD中，AD

7、∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。【变式10】E是梯形ABCD中腰DC上的中点，【方法总结】在解决梯形的有关问题时常用的思想是转化的思想，是通过作辅助线把梯形分割、拼接成我们所熟悉的三角形（尤其是Rt△），矩形、平行四边形，再利用三角形的全等、直角三角形的勾股定理以及平行四边形和矩形的性质来解决问题.类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）1、已知：四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。求证：【变式1】如图，已知：在梯形ABCD中，，AC、BD相交于点O.　求证：.变式1变

8、式2说明本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形