高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1.2指数函数指数函数的概念、图象与性质讲义苏教版

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1、第1课时　指数函数的概念、图象与性质学习目标核心素养1.理解指数函数的概念．(重点)2.掌握指数函数的图象和性质．(重点)3.能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)4.掌握函数图象的平移变换和对称变换.通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养.1．指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R.2．指数函数的图象和性质a>100时，y>1；x<0时，00时，01单调

2、性在(－∞，＋∞)上是单调增函数在(－∞，＋∞)上是单调减函数奇偶性非奇非偶函数1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝3·2x是指数函数．(　　)(2)指数函数的图象与x轴永不相交．(　　)(3)函数y＝2－x在R上为增函数．(　　)(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×[提示]　(1)y＝3·2x的系数为3，故y＝3·2x不是指数函数．(2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x轴不相交．(3)y＝2－x＝是减函数．(4)a>1时，若x<0，则ax<1.2．下列函数中，是

3、指数函数的为________．(填序号)(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．(4)(6)　[只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是．]3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________

4、.3x　[由于a2＝9，∴a＝±3.∵a＞0，∴a＝3，∴f(x)＝3x.]指数函数的概念【例1】　函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，求实数a的值．思路点拨：利用指数函数的定义求解．[解]　∵函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，∴∴∴a＝6，即a的值为6.指数函数具有以下特征：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.1．已知y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是________．　[要使y＝(2a－1)x是指数函数，则2a－1>0且2a－1≠1，∴a>且a≠1

5、.]利用单调性比较大小【例2】　比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与1；(3)0.6－2与；(4)与3－0.2.思路点拨：观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解]　(1)0<<1，y＝在定义域R内是减函数．又∵－1.8>－2.6，∴<.(2)∵0<<1，∴y＝在定义域R内是减函数．又∵－<0，∴>＝1，∴>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，<＝1，∴0.6－2>.(4)∵＝3－0.3，y＝3x在定义域R内是增函数，又∵－0.3<－0.2，∴3－0.3<3－0.2，∴<3－0.2.在进行指数式的大小比较时

6、，可以归纳为以下三类：(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.(2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可.(3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象.2．比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.60.4与0.40.6；(3)，2，，.[解]　(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π<－

7、3，∴1.9－π<1.9－3.(2)∵y＝0.6x在R上递减，∴0.60.4>0.60.6.又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x图象的上方，∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.(3)∵<0，>1,2>1,0<<1，又在y轴右侧，函数y＝的图象在y＝4x的下方，∴<4＝2，∴<<<2.利用单调性解指数不等式【例3】　(1)已知4≥2x＋1>2，求x的取值范围；(2)已知0.3x>，求x＋y的符号．思路点拨：化为同底，利用指数函数的单调性求解．[解]　(1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x＋1>2.∵y＝2x是单调递增的，∴

8、2≥x＋1>，∴－