（天津专用）2020届高考数学一轮复习考点规范练15导数的综合应用（含解析）新人教A版

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1、考点规范练15　导数的综合应用一、基础巩固1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对于x∈[-1,2],不等式f(x)0),e为自然对数的底数.(1)若过点A(2,f(2))的切线斜率为2,求实数a的值;(2)当x>0时,求证

2、:f(x)≥a1-1x;(3)若在区间(1,e)内,f(x)x-1>1恒成立,求实数a的取值范围.4.(2018全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)=1x-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x20)在x=1处取极值,其中a,b为常数.(1)若a>0,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取极值-1-c,且不等式f(x)≥-2c2恒成立,求实数c的取值范围;(3)若a>0,且

3、函数f(x)有两个不相等的零点x1,x2,证明:x1+x2>2.6.设函数f(x)=x2+bx-alnx.(1)若x=2是函数f(x)的极值点,1和x0是函数f(x)的两个不同零点,且x0∈(n,n+1),n∈N,求n.(2)若对任意b∈[-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.7.已知函数f(x)=ax-lnx.(1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标;(2)对∀x∈[1,+∞),不等式f(x)≥a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范围.三、高考预测8.(2018天津,文20)设函数f(

4、x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若d=3,求f(x)的极值;(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-63有三个互异的公共点,求d的取值范围.考点规范练15　导数的综合应用1.解(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f'(x)=3x2+2ax+b.又f(x)在x=-23与x=1处都取得极值,∴f'-23=129-43a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,两式联立解得

5、a=-12,b=-2,∴f(x)=x3-12x2-2x+c,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f'(x)=0,得x1=-23,x2=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-∞,-23-23-23,11(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗∴函数f(x)的递增区间为-∞,-23与(1,+∞),递减区间为-23,1.(2)f(x)=x3-12x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-23时,f-23=2227+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)

6、x∈[-1,2])恒成立,只需c2>f(2)=2+c,解得c<-1或c>2.∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).2.(1)证明当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)解设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在区间(0,+∞)内只有一个零点当且仅当h(x)在区间(0,+∞)内只

7、有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0.所以h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在区间[0,+∞)内的最小值.①若h(2)>0,则ae24.由于h(0)=1,所以h(x)在区间(0,2)内

8、有一个零点.由(1)知,当x>0时,ex>x2,所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)2>1-16a3(2a)4=1-1a>0.故h(x)在区间