高考数学第七章不等式4第4讲基本不等式练习理（含解析）

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1、第4讲基本不等式[基础题组练]1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2>2ab　　B．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2解析：选D.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，因为ab>0，所以＋≥2＝2.2．下列不等式一定成立的是(　　)A．lg>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2

2、x

3、(x∈R)D.>1(x∈R)解析：选C.对于选项A，当x>0时，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lgx；对于选

4、项B，当sinx<0时显然不成立；对于选项C，x2＋1＝

5、x

6、2＋1≥2

7、x

8、，一定成立；对于选项D，因为x2＋1≥1，所以0<≤1.故选C.3．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　)A.B.C．－1D．0解析：选D.f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.4．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A.B．2C．2D．4解析：选C.因为＋＝，所以a＞0，b＞0，由＝＋≥2＝2，所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2

9、.5．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是(　　)A．2B．2C．4D．2解析：选C.因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以lg(2x·8y)＝lg2，所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C.6．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤＝＝1，所以≥1；又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.答

10、案：17．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，所以＋＝＝＋＋≥＋2＝.当且仅当a＝2b＝时取等号．答案：8．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：29．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；(2)设0

11、＋＋＝－＋.当x<时，有3－2x>0，所以＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.(2)因为00，所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝.得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－

12、xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.[综合题组练]1．(应用型)已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)A．9B．12C．18D．24解析：选B.由＋≥，得m≤(a＋3b)＝＋＋6.又＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，所以m≤12，所以m的最大值为12.2．(应用型)若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)A．1B.C．9D．16解析：选B.＋＝·＝≥＝，当且仅当＝，即a

13、＝，b＝时取等号，故选B.3．(创新型)规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1，又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时取等号，故函数f(x)的最小值为3.答案：1　34．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.求：(1)u＝lgx＋lgy的最大值；(2)＋的最小值．解：(1)因为x>0，

14、y>0，所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.所以u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.所以当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)因为x>0，y>0，所以＋＝·＝≥＝.当且仅当＝时，等号成立．由