（浙江专用）高考数学第七章不等式4第4讲基本不等式教学案.docx

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1、第4讲　基本不等式1．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是

2、2．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×[教材衍化]1．(必修5P99例1(2)改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________．解析：因为x>0，y>0，所以≥

3、，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.答案：812．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设矩形的一边为xm，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.答案：25[易错纠偏](1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用．1．“x>0”是“x＋≥2成立”的(　　)A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不

4、必要条件解析：选C.当x>0时，x＋≥2＝2.因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条件，故选C.2．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________．解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.答案：0　　　　　　利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．主要命题角度有：(1)求不含等式条件的函数最值；(2)求含有等式条件的函数最值．角度一　求不含等式条件的函数最值(1)函数f(

5、x)＝(x>0)的最大值为________．(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．【解析】　(1)因为x>0，则f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时等号成立．(2)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.【答案】　(1)　(2)1角度二　求含有等式条件的函数最值(1)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．2C．4D．2(2)(2020·

6、杭州中学高三月考)函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为(　　)A．2B．4C．8D．16【解析】　(1)因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝，y＝时，取等号．(2)因为x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，所以函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)，因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上，所以－2m－n＋1＝0，即2

7、m＋n＝1，因为m＞0，n＞0，＋＝(2m＋n)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号，故选C.【答案】　(1)C　(2)C利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．　1．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值

8、为________．解析：令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.所以tmax＝＝3.答案：32．(2020·瑞安市龙翔高中高三月