高考数学总复习第五章平面向量、复数第30讲平面向量的数量积练习理新人教版

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1、第30讲　平面向量的数量积夯实基础　【p65】【学习目标】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系；5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．【基础检测】1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　)A．－1B．0C．1D．2【解析】法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2

2、a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)，从而(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.【答案】C2．已知向量a，b满足

3、a

4、＝，

5、b

6、＝2，a与b的夹角为π.若a⊥(a＋λb)，则实数λ＝(　　)A．1B.C.D．2【解析】∵a⊥，∴a·＝0，即a2＋λa·b＝0，3＋λ×2××cosπ＝0，解得λ＝.【答案】C3．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为

7、(　　)A.B.C．－D．－【解析】由题意知＝(2，1)，＝(5，5)，则在方向上的投影为

8、

9、·cos〈，〉＝＝.【答案】A4．已知向量a，b，其中

10、a

11、＝，

12、b

13、＝2，且(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是(　　)A.B.C.D.【解析】∵(a－b)⊥a，∴a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，

14、a

15、2－

16、a

17、

18、b

19、cosθ＝0，∴2－2cosθ＝0，cosθ＝，所以θ＝.【答案】B5．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________．【解析】因为·＝·＝·＝－×12－×12＋×1

20、2×＝－2.【答案】－2【知识要点】1．两向量的夹角已知非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角．a与b的夹角的取值范围是__[0，π]__．当a与b同向时，它们的夹角为__0__；当a与b反向时，它们的夹角为__π__；当夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把__

21、a

22、

23、b

24、cos__θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

25、a

26、

27、b

28、cosθ.规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何

29、意义向量的投影：

30、a

31、cosθ叫做向量a在b方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，__它是负值__；当θ为直角时，它是零．a·b的几何意义：数量积a·b等于__a的长度

32、a

33、__与b在a方向上的投影

34、b

35、cosθ的乘积．4．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.结论几何表示坐标表示模

36、a

37、＝

38、a

39、＝____数量积a·b＝

40、a

41、·

42、b

43、cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋

44、y1y2＝0

45、a·b

46、与

47、a

48、

49、b

50、的关系

51、a·b

52、≤

53、a

54、·

55、b

56、(当且仅当a∥b时等号成立)

57、x1x2＋y1y2

58、≤·5.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.典例剖析　【p65】考点1　平面向量的数量积的运算(1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝(　　)A．－1B．－C.D．1【解析】a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，∴x＝1.【答案】D(2)已知e1，e2是夹角

59、为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．【解析】因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)(e1·e2)－2e，且

60、e1

61、＝

62、e2

63、＝1，e1·e2＝－，所以k＋(1－2k)·－2＝0，解得k＝.【答案】(3)已知向量与的夹角为120°，且

64、

65、＝3，

66、

67、＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．【解析】∵向量与的夹角为120°，且

68、

69、＝3，

70、

71、＝2，∴·＝

72、

73、·

74、

75、cos120°＝2×3×＝－3.∵＝λ＋，且⊥，

76、∴·＝·＝·＝0，即λ·－·＋

77、

78、2－λ

79、

80、2＝0，∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得λ＝.【答案】(4)正方形ABCD边长为2，中心为O，直线l经过中心O，交AB于M，交CD于N,P为平面上一点，且2＝λ＋(1－λ)，则·的最小值是(　　)A．－B．－1C．－D．－2【解析】由题意可得：·＝＝(42－42)＝2－2，设2＝，则＝λ＋(1－λ)，∵λ＋(1－λ)＝1，∴Q，B，C三点共线．当MN与BD重合时，最大，