2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：平面解析几何　直线与圆锥曲线的综合应用(1)（含答案）

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1、第九章　平面解析几何第10课时　直线与圆锥曲线的综合应用[1]1.已知椭圆C：＋＝1[a>b>0]，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形，则椭圆的方程是________________．答案：＋y2＝1解析：由条件得即所以椭圆方程为＋y2＝1.2.从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且

2、PF

3、＝5，则△MPF的面积为________．答案：10解析：由题意，设P，则

4、PF

5、＝

6、PM

7、＝＋1＝5，所以y0＝±4，则S△MPF＝

8、PM

9、

10、y0

11、＝10.3.过双曲线－＝1[a＞0，b＞0]的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双

12、曲线、双曲线的渐近线交于点M、N[均在第一象限内]，若＝4，则双曲线的离心率为________．答案：解析：由题意知F[c，0]，则易得M、N的纵坐标分别为、，由＝4得＝4·，即＝.又c2＝a2＋b2，则e＝＝.4.直线l过抛物线y＝ax2[a>0]的焦点，并且与y轴垂直．若l被抛物线截得的线段长为4，则a＝________．答案：解析：l被抛物线截得的线段长，即为通径长，故＝4，即a＝.5.过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有________条．答案：2解析：设该抛物线焦点为F，则AB＝AF＋FB＝xA＋＋xB＋＝xA

13、＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．6.已知椭圆＋＝1[a>b>0]的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e＝________．答案：解析：在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，

14、F1F2

15、＝2c，

16、PF1

17、＝2

18、PF2

19、，根据椭圆的定义得

20、PF2

21、＝a，

22、PF1

23、＝a.又

24、PF1

25、2－

26、PF2

27、2＝

28、F1F2

29、2，即a2－a2＝4c2，则e＝＝.7.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F[1，0]，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若直线l的倾斜角为45°，则弦AB的中

30、点坐标为________．答案：[3，2]解析：依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x－1.由消去y，得[x－1]2＝4x，即x2－6x＋1＝0，因此线段AB的中点的横坐标是＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB的中点坐标是[3，2]．8.过椭圆＋＝1[a>b>0]的焦点且垂直于x轴的弦长为，则双曲线－＝1的离心率e＝________．答案：解析：由题意，得2·＝，即a＝2b，则在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝＝＝.9.已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围是多少．解：设存在点C[

31、x0，y0]，y0＝x，A[－，a]，B[，a][a>0]，kAC·kBC＝·＝＝y0－a＝－1，a＝1＋y0≥1.10.已知椭圆＋＝1[a＞b＞0]的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为＋1.[1]求椭圆的方程；[2]已知点C[m，0]是线段OF上一个动点[O为坐标原点]，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B点，使得AC＝BC？并说明理由．解：[1]∵　∴∴b＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.[2]由[1]得F[1，0]，∴0≤m≤1.假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y＝k[x－1]，代入＋y2＝1中，得[2k2＋1]x2－4k2x＋2k2－2

32、＝0.设A[x1，y1]，B[x2，y2]，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1＋y2＝k[x1＋x2－2]＝.设AB的中点为M，则M.∵AC＝BC，∴CM⊥AB，即kCM·kAB＝－1，∴·k＝－1，即[1－2m]k2＝m.∴当0≤m≤时，k＝±，即存在满足题意的直线l；当≤m≤1时，k不存在，即不存在满足题意的直线l.11.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1上一点P，过点P的直线l1、l2与椭圆C分别交于A、B[不同于P]，且它们的斜率k1、k2满足k1k2＝－.[1]求证：直线AB过定点；[2]求△PAB面积的最大值．[1]证明：[证法1]设直线l1的方程为y＝k

33、1[x－1]＋，联立得[3＋4k]x2＋[12k1－8k]x＋4k－12k1－3＝0，解得x＝1或x＝，即点A的坐标为.同理点B的坐标为.因为k1k2＝－，即k2＝－，所以＝＝，同理可得＝.所以A、B关于原点O对称，即直线AB过定点O.[证法2]设A[x0，y0]，则由＋＝1得y＝3－x.设点A关于原点O的对称点为A′[－x0，－y0]，直线PA′的斜率为k3，则k1k3＝·＝＝＝＝－.又k1k2＝－，所以k2＝k3，从而P、B、A′三点共线．因为B、A′都在椭圆C上，所以B与A