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《高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十一)直线与椭圆的位置关系(含解析)新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时跟踪检测(五十一)直线与椭圆的位置关系一、题点全面练1.若直线mx+ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是( )A.至多为1 B.2C.1D.0解析:选B 由题意知>2,即<2,∴点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2.2.中心为原点,一个焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆的方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:选C 由题设知c=5,设椭圆方程为+=1,联立方程消去y,整理得(10a2-450)
2、x2-12(a2-50)x+4(a2-50)-a2(a2-50)=0,由根与系数的关系得x1+x2==1,解得a2=75,所以椭圆方程为+=1.3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则
3、AB
4、的最大值为( )A.2B.C.D.解析:选C 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-t,x1x2=.∴
5、AB
6、=
7、x1-x2
8、=·=·=·,当t=0时,
9、AB
10、max=.4.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭
11、圆上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是( )A.4B.3C.2D.1解析:选D ∵(+)·=(-)·=·=0,∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.设
12、PF1
13、=m,
14、PF2
15、=n,则m+n=4,m2+n2=12,2mn=(m+n)2-m2-n2=4,mn=2,∴=mn=1.5.过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若<k<,则椭圆C的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.解析:选C 由题意可知,
16、AF
17、=a+c,
18、BF
19、=
20、,于是k=.又<k<,所以<<,化简可得<<,从而可得<e<,选C.6.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且
21、AB
22、=3,则C的方程为__________.解析:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且
23、AB
24、=3,所以=,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的方程为+=1.答案:+=17.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直
25、线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为__________.解析:过点M(-2,0)的直线m的方程为y-0=k1(x+2),代入椭圆方程化简得(2k+1)x2+8kx+8k-2=0,所以x1+x2=,所以点P,直线OP的斜率k2=-,所以k1k2=-.答案:-8.(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上,则椭圆C的方程为__________.解析:设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意可知c=1,即a2-b2=1①,设点F(1,0)关于直
26、线y=x的对称点为(m,n),可得=-2②.又因为点F与其对称点的中点坐标为,且中点在直线y=x上,所以有=×③,联立②③,解得即对称点为,代入椭圆方程可得+=1④,联立①④,解得a2=,b2=,所以椭圆方程为+=1.答案:+=19.(2019·长春监测)已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点E.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=2,求直线l的斜率k的值.解:(1)由解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意得直线l的方程为y=k(x+1)(k>0),联立
27、整理得y2-y-9=0,Δ=+144>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,又=2,所以y1=-2y2,所以y1y2=-2(y1+y2)2,则3+4k2=8,解得k=±,又k>0,所以k=.10.(2018·成都模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(,0),长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上,求直线l的方程.解:(1)由题可知c=,=2,a2=b2+c2,∴a=2,b=1.
28、∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时,不合题意.当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2).联立消去x可得(4+