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《高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十)椭圆及其性质(含解析)新人教A版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时跟踪检测(五十)椭圆及其性质一、题点全面练1.方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )A.(4,+∞) B.{4}C.(-∞,4)D.(0,4)解析:选D 因为椭圆的标准方程为+=1,焦点在x轴上,所以0<k<4.2.(2019·六盘水模拟)已知点F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,若点P在椭圆C上,且∠F1PF2=60°,则
2、PF1
3、·
4、PF2
5、=( )A.4B.6C.8D.12解析:选A 由
6、PF1
7、+
8、PF2
9、=4,
10、PF1
11、2+
12、PF2
13、2-2
14、PF1
15、·
16、P
17、F2
18、·cos60°=
19、F1F2
20、2,得3
21、PF1
22、·
23、PF2
24、=12,所以
25、PF1
26、·
27、PF2
28、=4,故选A.3.(2018·大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为+=1(a>b>0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析:选C 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,又由三角形面积公式得×2c×b=(2a+2c)×,得a=2c,即e==,故选C.4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )A.2B
29、.3C.6D.8解析:选C 设点P(x0,y0),则+=1,即y=3-.因为点F(-1,0),所以·=x0(x0+1)+y=x+x0+3=(x0+2)2+2.又x0∈[-2,2],所以(·)max=6.5.(2019·滁州模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若
30、AF
31、+
32、BF
33、=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.解析:选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得,
34、AF
35、+
36、BF
37、=2a=4,所以a=2.设
38、M(0,b),因为d=≥,所以1≤b<2.又e===,所以0<e≤.故选A.6.椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则
39、PF2
40、=__________.解析:F1(-,0),∵PF1⊥x轴,∴P,∴
41、
42、=,∴
43、
44、=4-=.答案:7.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为__________.解析:设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有
45、PC1
46、=r+1,
47、PC2
48、=9-r.所以
49、PC1
50、+
51、PC2
52、=1
53、0>
54、C1C2
55、=6,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,所以点P的轨迹方程为+=1.答案:+=18.(2019·嘉兴模拟)已知椭圆+=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且
56、PT
57、的最小值不小于(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是__________.解析:因为
58、PT
59、=,
60、PF2
61、的最小值为a-c,所以
62、PT
63、的最小值为.依题意,有≥(a-c),所以(a-c)2≥4(b-c)2,
64、所以a-c≥2(b-c),所以a+c≥2b,所以(a+c)2≥4(a2-c2),所以5c2+2ac-3a2≥0,所以5e2+2e-3≥0.①又b>c,所以b2>c2,所以a2-c2>c2,所以2e2<1.②联立①②,得≤e<.答案:9.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题
65、意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m).直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标yE=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2,所以yE=-n.又S△BDE=
66、BD
67、·
68、yE
69、=
70、BD
71、·
72、n
73、,S△BDN=
74、BD
75、·
76、n
77、.所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.10.(2019·西安模拟)已知椭圆+=1(
78、a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e=,求椭圆的方程;(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且<e≤,求k的取值范围.解:(1)由题意得c=3,=,所以a=2,又因为a2=b