资源描述：
《2.1.2向量的几何表示 (3)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。【知识梳理】一、向量的基本概念与线性运算1向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作；向量的大小即向量的模（长度），记作
2、
3、向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，
4、记为，其方向是任意的，与任意向量平行（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用e表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作∥平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同（6）相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量若、是互为相反向量，则=,=,+=2向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边
5、形法则”．（2）向量的减法：求向量加上的相反向量的运算叫做与的差．向量的减法有三角形法则，可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量的积的运算，记作λ．①；②当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反； 当时，13，方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律3.两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=向量与非零向量共线有两个均不是零的实数、，使得．二、平面向量的基本定理与坐标表示1平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，
6、那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2.平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标显然=（0,0），，．（2）设.则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若=(x,y)，则A点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O是坐标原点）
7、．3平面向量的坐标运算：（1）若，则．（2）若，则，．（3）若=(x,y)，则=(x,y)．（4）若，则．（5）若，则．三、平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，·等于的长度与在方向上的投影的乘积叫做与的数量积（或内积），即·=︱︱·︱︱cos，规定132向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3向量的模与平方的关系：4乘法公式成立：；．5平面向量数量积的运算律：①交换律成立：．②对实数的结合律成立：．③分配律成立：；特别注意：①结合律不成立：．②消去
8、律不成立不能得到．③=0不能得到=或=6两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=7向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥⊥·＝O【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若，13，，则=（ ） （A）（B）（C）（
9、D）【答案】B．【解析】由角平分线的性质得,即有．从而．故选B．【例2】（2009北京，2）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（）A．且c与d同向B．且c与d反向C．且c与d同向D．且c与d反向【答案】D．【解析】取a，b，若，则cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B．若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D．【例3】（2009湖南卷文）如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A．B．C．D．【答案】A．【解析】得．或．【例4】（2009宁夏海南卷
10、文）已知，向量与垂直，则实数的值为()A.B.C.D.【答案】A．13【解析】向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故选A．【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足，则（）A．150°B.120°C.60°D.30°【答案】B．【解析】由向量加法的平行四边形法则，
