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1、平面向量基础知识AB向量有关概念:1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的绅是任意的;_3,单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB).士,),相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:规定零向量和任何向量平行。
2、AB
3、4.5.a//bAB提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行包含两?向量共线,但两条直线皿增含两条直
4、线重合;③平行向量无传递性!(因为有0);④三点AB、C共线=AB、AC共线;6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一ao二.向量的表小方法:1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y),称(x,y)为向量a的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐
5、标相同。三.平面向量的基本定理:如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数%、%,使a=1eei+%e2。如:若a=(i,i)b=(「i),c=(—1,2),则之=四.实数,向量白%积:实数k与向量a的积是一个向量,记作九a,它的长度和方向规定如工:(1,aj=2pa',(2)当人>0时,九a的方向与a的方向相同,当九<0时,九a的方向与a的方向相反,当九=0时,焉=0,注意:九aw0。五.平面向量的数量积:1.两个向量的夹角:对于非零向量a,b,作OA=a,OB=b,/AOB=8(0W8)称为向量a,b的夹
6、角,当8=0时,】,b同向,当8=n时,a,b反向,当日=土时,a,b垂直。22.平面向量的数量积:如果两个非零向量a,b,它们的夹角为我们把数量
7、a
8、
9、b
10、cosH叫做a与b的数量积(或内积或点积),记作:a・b,即a・b=allb'cos9。规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。iii►如:△ABC中,
11、AB
12、=3,
13、AC
14、=4,
15、BC
16、=5,则ABBC=3.b在a上的投影为
17、b
18、cos9,它是一个实数,但不一定大于00如:已知1a1=3,
19、b
20、=5,且a,b=12,则向量a在向量b上的投影为4.a・b的几何意义:
21、数量积a*b等于a的模日
22、与b在a上的投影的积。AB1.向量数量积的性质:设两个非零向量a,b,其夹角为8,则:①打广仁a.b=0;②当a,b同向时,a・b=ab,特别地,a2=2•2=邛,1:=宿2;当a与b反向时,a・b=—ab;4*③非零向量a,b夹角日的计算公式:cosHuaW;④
23、a・b
24、W
25、a
26、
27、b
28、。1as五.向量的运算:1.几何运算:①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平彳》44的『'八适用于不共驾勺向量,如此之外?向量加法还可利用“三角形法则":设"AB=a,BC=b,那么向量葭叫做2与b的和,即a+b'=AB+BC=AC;②向
29、量的减法:用“三角形法则”:设AB=a,AC=b,那么1—b=AB—AC=CA,由减向量的终点指向被映U量工皆之注意:此卷呼鸣与沙向量的起点也F—TT如化简:①AB+BC+CD=;®7B-AD-DC=;@(aB-CD)-(aC-BD)=一孑彳2.坐标运算:设a=(为40)^=(X2,y2),则:①向量的加减法运算:a±b=(x1±x2,y1±y2)。如:已知A(2,3),B(1,4),且IaB=(sinx,cosy),x,y=(--,-),贝ljx+y=.222②实数与向量的积:%a=九(%,乂)=(久%,九%)。③若A(xi,y。B(x2,y2),则A
30、B2—iy2于1),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如:设A(2,3),B(-1,5),且7CJ7B,AD=3AB,则C、D的坐标分别是3④平面向量数量积:a*b=x1x2+y1y2o⑤向量的模:
31、a
32、=Jx2+y2,a=
33、g
34、2=x2+y2。六.向量的运算律:」」,」」1.交换律:a+b=b+a,九(Na)=(7卅)a,a,b=b,a;444^4^444^4444***42.结合律:a+b+c=(a+b)+c,a—b—c=a—(b+c),(Ka)・b=九(a,b)=a♦(7b);■4444->43.分配律:(九+邑)a
35、=,a+邑a,K(a+b)=^a+九b,(a+b)*c=a,c+b,c。七.向量