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《（浙江专版）2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明第6节数学归纳法教师用书》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第六节数学归纳法抓基础•自主学习I理教材・双基自主测评知识梳理▼1.数学归纳法证明一个与正整数刀有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当〃取第一个值久仏WN0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k{k^n^时命题成立，证明当z?=A+l时命题也成立.只耍完成这两个步骤，就可以断定命题对从处开始的所有正整数刀都成立.2.数学归纳法的框图表示学情自测1・（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“厂，错误的打“X”）（1）用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当〃=1时结论成立.（）（2）用数学
2、归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.（）（3）不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明吋，由n=k到刀=/<+1时，项数都增加了一项.（）（4）用数学归纳法证明等式“1+2+0+…+2企=2*—1”，验证/7=1时,左边式子应为1+2+22+2'.（）［答案］⑴X⑵X⑶X⑷丁2.（2017•杭州二中月考）在应用数学归纳法证明凸〃边形的对角线为*〃（〃一3）条时，第一步检验〃等于（）A.1B.2C.3D.0C［因为凸刀边形最小为三角形，所以第一步检验刀等于3,故选C.］2.已知刀为正偶数，用数学归纳法证明1—
3、g+g—#+•••—£=2（士+占+・・•+£!时，若已假设尸kg2,且&为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A.n=k+l时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.刀=2(£+2)时等式成立B［斤为偶数，则k+2为偶数.］4・(教材改编)已知｛/｝满足亦1=£—加“+1,刀WN*,且^1=2,则及=,&3=,a.=,猜想an=.345卄15.用数学归纳法证明：“1+*+#+・・・+刁占5(刀>1)”由n=k(k>1)不等式成立，推证刀=£+1时，左边应增加的项的项数是.【
4、导学号：51062209］2A［当n=k时，不等式为l+g+扌2丄则n=k+时，左边应为1+^+2+…+尹Li*寺+歹*7+…+歹丄二P则左边增加的项数为2旳一1—2“+1=明考向•题型突破I析典仪•」、龙规聲方法空回丄I用数学归纳法证明等式设心)=1+*+#+••・+扣訥.求证:f(l)+f(2)+…+fS-1)=&S)［证明］⑴当n=2时，左边=f(l)=l,J=l,左边=右边，等式成立.4分(2)假设n=k(k22,圧N")时,结论成立,即AD+A2)+-+AA-1)=A[/U)—1],8分那么，
5、当n=k+1时，f⑴+A2)+…+f(k一1)+/W=k[f(k)-1]+/W=(A+1)f(/d一k=(k+k+x#1卜=a+i)f(k+i)-a+i)=a+i)tra+i)-u,12分・••当n=k+l吋结论仍然成立.由(1)(2)可知：/•(l)+f(2)+・・・+fS-l)=〃［fS)-l］SN2,z?eN*).15分［规律方法］1.用数学归纳法证明等式问题，耍“先看项”，弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项，初始值尬)是多少.2.由n=k时命题成立，推出n=k+1时等式成立，一要找出等式两
6、边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.［变式训练1］求证存占―扌+…+尙—存士r+计i+・・・+丹小)・［证明］⑴当/?—1吋，左边一12一2,右边=］+］=刁左边=右边.4分(2)假设n=k时等式成立，即1—尹§_才+…十2―］_以£+1+忌+•••+/*分则当n=k+i吋,11_2丄_丄3_42―厂刊+曲+厂2£+22k+l~2k+2^+2+7+3+***+2k++2k+2'13分即当n=k+1时，等式也成立.综
7、合(1)(2)可知,对一切胆花等式成立.15分I考向2
8、用数学归纳法证明不等式»例用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数不等式(1+21+寻(1+2均成立.［证明］⑴当n=2时，左边“+扌今：右边=¥•丁左边〉右边，•：不等式成立•4(2)假设n=k(kM2,且届1T)时不等式成立，即(1+》(1+》•(1+君)8分则当n=k+i时,])2k—,"IQ2&+12W+2~J>2■2A+12£+22如+1Q4护+8&+4、彳4护+8&+3_2p2k+l2寸2£+114分仙+3伽+1_/2+12寸2&+1_
9、2・••当n=k+时，不等式也成立.由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数刀，不等式都成立.15分［规律方法］1.当遇到与正整数〃有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法.2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k吋命题成立，再证n=k+l吋命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.［变式训练2］已知数
