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1、第四讲函数的两域三性•知点考点答点（1）函数的定义域函数的定义域即使函数有意义的自变量X的取值范围.一般來说，整式函数的定义域是全体实数；分式函数的定义域由分母不为零确定；无理函数分两种情况，根指数为奇数的，定义域是全体实数，根指数为偶数的，定义域由被开方数不小于零确定；指数函数的定义域是全体实数；对数函数的定义域由真数大于零确定，也就是零和负数没有对数；复合两数的定义域则须求被复合的各种简单函数定义域的交集.如】求函数尸止rL的定义域.【思考】本题的前一部分是分式函数，应使其分母不为零；后一部分是偶次根式函数，应使其被开方数不小于零.【解析】[-2,
2、-1)5-1,12(1,2].I兀
3、-1hO[xh±14-x2>0^1-2^2WxW16.【归纳】不论函数的解析式多么复杂，求函数的定义域最终是求自变量X的取值范围.（2）函数的值域.当两数的自变量x在其定义域内取值时，所有相
4、应的函数值的集合，称为函数的值域.
5、_Y2【例3】求函数f（x）=^y的值域.2【解析1】（利用非负实数的性质）由yrrmnyU+FAi—Fn+r—Q于•1+x2'）1+y八0,・・・扫貧0.故严（一1,1］即为所求.=>y(l+兀2)=1-兀2【解析3】（确定函数的最值）/（%）—2—1+F21+兀~1+兀~1+x1—Y【解析2】（利用一元二次方程根的判别式）y二——=>(y+l)F+y—l=O(1)显然y+lH（）nyH_l.否则又由（1）可以推出『=1,矛盾.于是方程（1）恒有两个实数根,.•.A>0^02-4(jv+l)(y-l)>0Kj+1^
6、0,解得尸(一1,1]【解析5】（利用数形结合）设x2=r（/>0）,Vx2>0,故当兀=0时，/（兀）取最大值1；当xgR时，总有/（x）<-l.故所求函数的值域.为ye（-1,1].（兀、【解析4】（利用正、余弦函数的有界性）设x=tan^0丘/?,且&工£龙+—,那么显然，这个函数的图象是以（-1,-1）为屮心的双曲线当-4••…；:—1/no的部分，如图可知：ye（-1,1].[【归纳】确定函数值域的方法有：①确定函数的最大值与最小值；②将函数式转化成一元二次方程并利用其判别式；③利用非负实数的性质；④利用正、余弦函数的有界性；⑤利用数形结合的
7、方法将求函数的值域问题转化为有关的儿何问题.其他更高级一些方法还有：利用平均值不等式和利用导数，等等.（3）函数的单调性.如果函数/（兀）在其定义域M内,当吃时，恒有/（兀2）A/（xJ，则称函数/（兀）是M上的增函数；反之，当西时，恒有/（x2）^/（xt）,则称函数.f（x）是M上的减函数.一个函数是其定义域M内的增函数或减函数，则称这个函数具有单调性.判断函数单调性的主要方法是比较法.几种常见代数函数的单调性：一次函数y=+）当ka0时在R上单调增；kYO时在R上单调减.二次函数y=cf+加+c（g丰0）在全体实数范围内没有单调性，但若以其图象的
8、对称轴为界将其定义域划分为两个区间，那么当a>0时左减右增；当gyO时左增右减.反比例函数y=-（k^0）在全体实数范围内也没有单调性，但若以其图彖的对称中心为X界将其定义域划分为两个区间，那么当kA0时左减右也减；当RyO时左增右也增.指数函数y=/（dA0卫工1）当aA1时是R上的增函数；当0YaY1时是R上的减函数.对数函数y=log“（dA0,GH1）当dA1时是R“上的增函数；当0YdY1时是IV上的减函数.【例4】研究函数.心）二兀+?«>（））的单调性.X/、aX.+—/1一吃丿・•・/（兀2）一/（斗）的正负由1—x}x2的符号确定;
9、x~可知：当XW/（兀2）-/（石）》°，/W单调增;又由于/U）=x+$a>0）的定义域为xwR,且兀工0,故心）的单调性应分RSR两个区间讨论.a»0=＞兀2(-8,-需]kj[V^,+T；令1一号WOn/Wdnxw[-石,0)u(0,石](-8,-时，当［-石,0）U（0,a/^］时，.f（兀2）-/（兀］）»0,/（X）单调减.A%）=a+-（6/>0）的大致图象如右上图所示.【注意】（1）/U）二兀+±（d>0）是十分重要的初等函数，以上总结的单调法则应予牢记.x（2）/（.丫）是奇函数，它的图象关于原点对称.【例5】研究函数./W=log3
10、（2f1）的单调性.【解析】令2r・l>0知定义域为（丄，+8）,・・理心）二2胁1单调增，g
