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《中考数学复习指导：利用几何模型证三点共线》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用几何模型证三点共线把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题，称为数学建模，该数学问题称为原问题的数学模型，平面儿何中的儿何概念、图形的性质、儿何公理、定理等都可以视为几何模型，利用几何模型可以顺利解决几何中的一些难题，下血介绍用几何模型证三点共线的几种方法，供参考.一、邻补角模型如图1,要证明A、B、C三点共线，可选择一条过点B的直线PBQ,并连结AB、CB,证明ZABP与ZCBP互为邻补角，即ZABP+ZCBP=180°.例1如图2,在△4BC中，延长二中线BD、CE到点F、G,使DF=BD,EG=CE,求证G、A、F三点共线，分析要证明G、
2、A、F三点共线，可证明ZFAC+ZBAC+ZGAB=180°.由于BD=DF,AD=CD,连结CF,则四边形ABCF为平行四边形，AF〃BC,ZFAC=ZACB.同理ZGAB=ZABC.・•・ZFAC+ZBAC+ZGAB=ZACB+ZABC+ZBAC=180°证明连结CF.v〃。是的中线，・•・AD=CD.又BD=DF,・•・四边形仙CF是平行四边形，・•・AF//BC,,•・乙FAC=Z.ACB.同理乙GAB=LABC,・•・乙FAC+乙BAC+乙GAB=乙ACB+^ABC+乙A4C==180%・・・G、4、F三点共线,二、对顶角模型如图3,如果A、
3、B、C三点共线，过点B作一直线MN,则对顶角ZMBA=ZCBN.（有吋MN并不存在，需根据情况适当添加辅助线）.M图3同理厶OfD=+乙BPD.Z.4PC=乙BPD,・・・AO.PC=乙O2PD,・•・0
4、、。2、P三点共线.例2如图4,AB、CD分别是两圆OO]与OCh的内公切线，切点分别为A、B、C、D,两切线交于P点，求证：Oi、O2、P三点共线.分析要证明0】、02、P三点共线，可连结0]P和0?P,证ZO1PC=ZO2PD或ZOiPA=zo2pb即可.证明连结0fOAgCOP、。2。・・•ab、cd为的公切线,又P为0外一点，・•.乙O
5、PC
6、=乙O'PA二*乙APC,三、平行线模型如图5,要证明A、B、C三点共线，先证AB//DE,再证BC//DE.例3如图6,在ZABC中，M为BC的中点，AD为ZBAC的平分线，CD丄AD,D为垂足，AE是ZBAC的外角ZCAK的平分线，CE丄AE,E为垂足，求证：M、D、E三点共线.分析要证D、E、M三点共线，AD为ZBAC的平分线，CD丄AD,可证D是CH的中点，M为BC的中点，所以DM〃AB,同理DE〃AB,所以D、E、M三点共线，证明VAD为ZBAC的平分线，CD丄AD.・・・CD=DH.•・・M为BC的屮点，・•・DM〃AB,同理可证DE〃A
7、B,・・・M、D、E三点共线，四、垂线模型如图7,要证明A、B、C三点共线，可证明过点A的直线AC丄MN,AB丄MN.例4如图8,PQ、MN分别切。0于A、B两点，PQ/7MN,求证：A、0、B三点共线，分析要证A、0、B三点共线，可证0A丄PQ,0B丄MN,再证0A丄MN即可.证明TPQ、MN分别切于A、B两点，・・・0A丄PQ,0B丄MN.VPQ//MN,.*.OA丄MN.又T0B丄MN,・・・A、0、B三点共线.五、直线模型证明第三点在过另两点的直线上.例5如图9,OO］与002相交于A、B两点，公切线切两圆于C、D两点，M为CD的中点，求证：A
8、、B、M三点共线.C分析可连结AB并延长交CD于M*,再利用切割线定理证明M与M重合，则M在AB的延长线上，即A、B、M三点共线.证明连结BA,并延长交CD于NT.VCD是00
9、-^002的公切线，.•.CM,2=AM*・BM1.MD—ANT・BM・・・CNf=DM.即M，是CD的中点，TM是CD的中点，・・・Nf与M重合，即M在BA延长线上，・・・A、B、M三点共线.六、角平分线模型利用同角平分线的唯一性证三点共线，例6如图10,AB、CD是OO
10、与002的两条外公切线，A、B、C、D是切点，AB、CD的延长线交于P点，求证：O]、02、P三点共线
11、.分析要证明0
12、、02、P三点共线，连结0]P、O2P,先证01P是ZAPC的平分线，再证0?P也是ZAPC的平分线.证明TPA、PC是0
13、的两条外公切线，又P为G)Oi外一点，.*.O
14、P平分ZAPC,即0
15、P是ZAPC的平分线.同理可证O2P是ZBPD的平分线.•・•ZAPC与ZBPD是同一个角，・・・Oi、Ch、P三点共线.用数学模型解题，能有效沟通相关问题的情境，促进解题过程屮知识、方法的正向迁移，打破思维定势，化陌生为熟悉，化非常规为常规；有助于培养学生提出、发现、解决问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力，进而提高思维能力.
