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《中考数学教学指导：巧用二次函数中的等角解题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、巧用二次函数中的等角解题以二次函数为背景的综合题往往有一定难度.如何依据题目的特点，利用已知条件，探寻知识的内在联系，进而发现隐藏的信息，成为突破难点的关键.下面结合实例，谈谈如何挖掘二次函数中隐含的等角來破解难题，希望对同学们有所帮助.一、由圈形变换发现等角例1如图1,二次函数y=a(x2-6x+8)的图象与兀轴交于点A,B,与y轴交于点C,连结AC.将沿直线AC翻折，若点0的对应点0’恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值.解取y=0,rha(x2—6x+8)=0,解得%)=2,兀,=—4.该抛物线
2、的对称轴为直线兀=3，如图1,设抛物线的对称轴与兀轴的交点为M,则AM=1,而OA=lf又OA=O'A=2f:.01A=2AM,・•・ZO'AM=60°.Z0AC=Z0,AC=60°:.0C二血0=2巧把C(0,2V3)代入二次函数表达式，得a评注由折叠知ZOAC=ZCAO'.又点O'落在抛物线的对称轴上，通过RtAO'AM中两边的关系，可得到ZO'AM=60°,进而发现ZOAC=ZCAO'=AO'AB.二、由特殊度数发现等角例2如图2,在直角坐标系中，0为坐标原点，UOABC的顶点A,C的坐标分别为(
3、2,0),(1,3巧)，经过点A的抛物线y=ax1-2y[ix的顶点为D.(1)求a的值及点3的坐标；(2)若P是线段OA上一点，且ZAPD=ZOAB,求点P的坐标.解(1)将A(2,0)代人抛物线解析式，可得4。—4的=0,解得a=品.又丁九=%=3a/3,xB=3・•・B(3,3岳.(2)如图3,由y=—2/3x,可得D(l,—V3).乂•••tan/LOAD•・•tanZA(?B=^=>/33/.ZOAD=ZAOB=60°而ZAPD=ZOABf・•・APD□OABAPAD^~oa~~ob':.
4、AP=~,34・•・p(-,o).评注第⑵题汁算得到60°是本题的重大发现，由特殊角进一步得到ZOAD=ZAOB的关系，结合已知条件ZAPD=ZOAB,就能证明三角形相似，进而求出P点坐标.三、由坐标关系发现等角例3如图4,抛物线y=cvc2+/?%-3与兀轴交于点A,B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.(1)求抛物线的函数表达式；(2)直线y=--x4-1交y轴于点D,E为抛物线的顶点，若ZDBC=a,ZCBE=p,求a-p的值.解⑴取兀=0,得y=_3.•e.C(0，一3)•又•••OB=O
5、C=3OA/.B(3,0),A(—1,O).设y=d(x+l)(x-3),把C(0,-3)代入，得g=1/.y=x2-2x-3.(2)由D(O,1),3(3,0)知OB=3,OD=1,・•・tan=Z.DBO二—.3而£(1,-4),・・.BC=3迈,CE=yf2.・•・BE=2逅,于是有BC24-CE2=BE2,・•・ZBCE=90°.CE1则有tanZCBE=—=-,BC3tanACBE=tanZDBO.ZDBO=ZCBE=0,a-/3=ZDBC-ZCBE=ZDBC-ZDBO=ZOBC.而OB=OC=
6、3,ZBOC=90°知ZOBC=45。，・・・a—0=45。・评注第(2)题由点B,C,E的坐标结合勾股定理可证明ABCE是直角三角形，利用—,即可得到ZDBO=ZEBC.OBCB四、由数量关系发现等角例4如图5,抛物线y=（兀一3）（兀+1）与兀轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,D为抛物线的顶点.（1）求B,D的坐标；（2）连结BD,CD,抛物线的对称轴与兀轴交于点E.若线段BD上有一点P,使ZDCP=ZBDE,求点P的坐标.解(1)収)：=0,得兀］=3,x2=-1,・・・B(3,0
7、),易得D(l,-4).(2)如图6,取兀=0,y=-3,即C(0,—3).・・•对称轴为直线x=l,/.E(1,O).连结BC,过点C作CH丄DE于点则H(l,-3),.CH=DH=f:.ZCDH=ZBCO=ZBCH=45°.:・CD=4i,CB=3忑.△BCD为直角三角形，分别延长PC,DC与兀轴相交于点Q,RZCDB=ZCDE+ZBDE=45°+ZDCP,ZQCO=ARCO+ZQCR=45°+ZDCP.・・・ZCDB=ZQCO,:.'BCD□QOC.OCCD1•——:.OQ=3OC=9,即2(
8、-9,0),9x=—724则可求得直线C0为y=--x-3.直线为y=2x-6.y=—x—3叫’3，解得＜y=2x-6924即点P的坐标为（一,一一）.77图6评注第(2)题利用坐标可发现ZCDH=ZBCO=ZBCH=45°,结合图形可得到ZQCO=ZRCO+ZQCR=45°+乙DCP,ZCDB=ZCDE+ZBDE=45°+ZDCP,即得到ZCDB=ZQCO.五、由三解函数值发现等角例5如图7,抛物线y=—F+2兀+3与x轴交
