浅谈构造法解题

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1、浅谈构造法解题(重庆兼善中学400700)曾应洪构造法是一种重要而奇妙的数学方法，在数学发展史上，不少数学家都曾经用构造法成功地解决了数学中的诸多难题。在解决数学问题吋，通过对问题的已知条件和结论作深入恰当的分析，构造出问题的结论表达的数学对象、辅助元素或与结论相反的矛盾，筑起解决问题的桥梁，使得问题简明快捷地得以解决。本文就构造方法的策略及应用举例作肤浅的探讨：［例1］求证：定义域为eR+)的任意函数H(x)均可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。［略证］设H(x)=f(x)+g(x)①,其中f(x)为偶函数，g(x)为奇函数。把f(x)和g(x)

2、视为未知数，则①就是一个“二元”方程，为解出f(x)和g(x),还得构造相关的另一个方程，由条件H(-x)=f(-x)+/(x)=

3、［H(x)+H(-x)］g(-x)=f(x)-g(x)②，由①②解得：v,不难验证f(x)是偶函数，g(x)是奇函数。［例2］已知a,b为实数，且b>a>e,e为自然对数的底，比较/和b"的大小。［解］Qb>a>e,.°.(构造函数)设f(b)=blna-alnb(b>e),则f@)=a--.Qb>a>e,:.a>1且纟<1,/.fb)>0.bb故函数f(b)=blna-alnb在(匕+oc)上是增函数。/(

4、/?)>f(a)=ba-alnb>aa-aa=Q,即blna>alnb,ab>ba.于O的B使AB=1,在OP上取不°BD同于A的C使BC=1,在OQ上取不同于B的D使CD=1,一易得:ZCAB=ACB=一,ZCBD=ZCDB=ZACD=一•从而77OC=OD・又OC=OA+AC=l+2AB・cos丝=1+2cos丝,0D=77jrtcOB+BD=2cos—+2cos——•故有1+2cos——=2cos—+2cos——・77777.tc2tt3tt1艮卩A=coscos——+cos——=—.7772［例4］试求函数gb)=(a—疔+(J

5、4-宀与的最小值。b［解］如图，f(a,b)可视作点A(a^4-a2B(b--)b的距离的平方，即为

6、ab

7、20点a所在曲线BA/ty的参数方程是x-aI，消去a得y=Q4—CTx2+y2=4(y>0l即为上半圆周。点B所在曲线的参数方程是彳x=b9,消去b得xy=-9,即为双曲线。A3取最小值时，4B所在直线必过圆心，故可先求圆心0到双曲线上半支的最短距离，然后减去半径即可。由

8、0B

9、2=x2+y2=x2+^>2Jx2•卑=1&得

10、网斷=3血,JCYX/.AB.=3血—2.・・・/(%)品=(3血—2)2=22—12血，即为所求。mm』min

11、z“构造法”是一种重要而灵活的思维方法，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合。由以上各例可以看出,若能抓住问题在形式与结构上的独有特征联想构造，就可使得不少的问题用比较简捷宜观的方法获得解决。