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1、最值、范围、存在性问题题型一最值问题［典例］(2016•广州市高考模拟)定圆M：(x+V3)2+/=16,动圆N过点F速,0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.(1)求轨迹£的方程；(2)设点力，B,C在E上运动，/与B关于原点对称，且AC=CB,当△MC的面积最小时，求直线力3的方程.［解］(1)因为点0)在圆M:(x+^/3)2+/=16内，所以圆N内切于圆M.因为
2、AW］+
3、AT71=4>
4、F7W］,所以点N的轨迹E是以0),F心0)为焦点的椭圆，且2q=4,c=£,所以b=・所以轨迹E的方程为1.⑵①当为长
5、轴(或短轴)时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点(或左右顶点),此时S^abc=~^'OC'AB=1,②当直线的斜率存在且不为0时，设其斜率为k,直线AB的方程为y=kx,联立方程,所以
6、CMF=易+yA=(鳥由MC
7、=
8、CB
9、知，厶ABC为等腰三角形，O为45的中点，OC丄AB,所以直线OC的方程为y=—^x,由<4(1+F)/4(1+F)4(1+F)=2Sg严“卜乔7右犷飞(叶4讪2+外所以SiabcA§当且仅当1+4斥=疋+4,即k=±时等号成立,Q此时△/3C而积的最小值是弓.QX因为2>§,所以△力3C
10、面积的最小值为此时直线AB的方程为y=x或尹=—兀.［方法点拨］圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法(1)两种类型①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)两种解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.［提醒］求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论.如直线
11、斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等.［对点演练］已知椭圆C的左、右焦点分别为尺(一1,0),尸2(1,0),且尸2到直线X—品一9=0的距离等于椭圆的短轴长.(1)求椭圆C的方程.(2)若圆F的圆心为F(0,/)(/>0),且经过鬥，F"0是椭圆C上的动点且在圆F外，过点0作圆P的切线，切点为M,当的最大值为翠时，求/的值.22解：(1)设椭圆的方程为手+”=1(0>/)>0).11—91依题意可知，2b=^~L=4i所以b=2.又c=l,故a2=b2+c2=5f22故椭圆C的方程为j+^-=1.(2)由题意
12、，圆P的方程为：x2+(y—/)2=/2+1,设Q(x(),为)，因为PM丄0M,所以
13、0M
14、=y\PQ^-r-=px汁血一/)2—/2—1=^-
15、lvo+4r)2+4+4/2.若一4/W—2,即总*,当y0=~2时，
16、0M
17、取得最大值，IMUx=〈4/+3=^2^,31解得舍去)•若一4/>—2,即0W*,当yo=~4t时，
18、QM
19、取最大值，且IQMma严乜4+才=芈，解得/2=
20、.又OVfV㊁，所以t=4•综上可知，当/=爭时,OM的最大值为书题型二范围问题［典例］(2016-浙江高考)如图，设椭圆缶+F=i(q
21、i).(1)求直线y=kx+被椭圆截得的线段长(用°,&表示)；(2)若任意以点力(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.［解］(1)设直线y=kx+被椭圆截得的线段为/几尹=也+1,X2.7(一z+”=l,az得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,.,c2ci2k故X1=o,X2=--^-^.因此锻鬥=pl+仙-X2
22、=加臣胃(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,0满^AP=AQ.记直线/P,力0的斜率分别为岛，k2f且岛,局>0,£］工局
23、・由⑴知,AQ=2胡灯寸1+启2孑比2卜/1+泾故1+/后=1+/於，所以(后一辰)［1+后+居+/(2—/)后居］=0.由岛工&2,kf«2>0得1+用+恳+<72(2—/)&彼=0,因此(古+1)(右+1)=1+/(/—2).①因为①式关于冷，他的方程有解的充要条件是1+/(/—2)>1,所以a>y［2.因此，任意以点力(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为IVqW迈.LCa//—1由=a，得0GW*.所求离心率的取值范围为(0,芳［方法点拨］解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥
24、曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求岀参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域
