矩阵ATA 的性质与应用

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1、今肥学院学子友(自然科学版)JournalofHefeiUniversity(NaturalSciences)Mar.2005Vol.15No.1矩阵ATA的性质与应用吴礼斌，，吴秋月“(1.安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233000;2.安徽大学数学与计算科学学院，合肥230039)摘要:通过系统研究乘积矩阵ATA的性质，然后运用这些性质提出了求规范正交墓的一种新方法—消法初等列变换方法，还给出了编写正定矩阵例题的技巧以及判定一组向量线性相关的方法。关键词:乘积矩阵ATA;规范正交基;初等列变换;正定矩阵中图分类号:0151.21文献标

2、识码:A文章编号:;1673一162X(2005)01-0032-021性质性质1设A为mxn矩阵，则A认是n阶对称矩阵〔1]1510性质2矩阵A伙与矩阵A有相同的秩，即秩(A恤)=秩(A尸11430推论矩阵A恤与矩阵"T有相同的秩。性质3设A为m/n矩阵，A的n个列向量线性无关的充分必要条件是det(ATA);Oo性质4设A为m/n矩阵，ATA是正定矩阵的充分必要条件是秩(A)=n[Z]川。性质5设A为mxn矩阵，且秩(A)=n，则存在可逆矩阵P，使B=AP=(口，，月:，⋯，刀。)的列向量是正交向量组。证明因秩(A)=n,dj'性质1与性质4知

3、，ATA是n阶对称正定矩阵，作((n+m)xn矩阵[AAA],即对其施行消法初等列变换，把ATA化为下三角形矩阵，2cl0、、了lleseee…s…seesraseesw*ecn(ATA)一(A(APTA)P)..*.三，.seesl、夕、AP其中c;>0(i=1,2,...,n),P是几(k)(i

4、0j令B=AP二(81，几9-9/8n)，则/0、1cl、一!……一一且BTB二(PA)T(AP)=PT(A认)P1，01cn、夕、0j从而(A,pi)=Ic;，(‘“J)，即(1619162}***t16.)是正交向量组。L0，(i尹了)·收稿日期:2004-09-23修回日期:2005-01-02作者简介:吴礼斌(1962一)，男，安徽安庆人，安徽财经大学统计与应用数学学院副教授。第1期吴礼斌，等:矩阵ATA的性质与应用2应用2.1求规范正交基由性质5，可以用消法初等列变换求规范正交基，这一方法与施密特正交化方法比较显得简单，具体过程如下:设R

5、n的一组基A=(a=a2,-,an)，ATA(‘)求、恤,(2)作2nx。矩阵(‘认施行消法初等列变换，把ATA化为下三角形、A)，‘，，对矩阵(A矩阵，同时把A化为矩阵B，即2了clo、、‘llwe、l(…A尸es!，、eses1尹es~es

6、(ATAIAP

7、、*c

8、nkA1.口

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10、lwe、j卜A尸，2.(4)记B=AP=(N1,,82，⋯1,8.)，令6i==c,a‘=1,n)，则61,62，⋯,e。是规范正交基。/1于.一15la一se2例1巳知A=(a,,a2一s1e0一3求规范正交基。se‘2、一1一7.2‘八，内、子jJ飞-.l，l

11、ese_s_.、.，，.__iA恤、_，_、‘，__.，_，_一_._二，，，:二、，__、~=e内sZ尸2，es一J‘e月ees诊解因为ATAesePeT1;:tTv}14-II,x7AMT7IRIRfjj;E*903EBZ,itA-A}Vr-Mlr,、we、内0张内I声kA1一﹂0凡j︺B且p矩阵，同时将A化为9(0Z、r01l.raes八(0e-sjes1eses内0引Ie一e，0L︶1..，we11︸‘e，s菩峨Ul一2/3eses2Ze一s1:以es一2乃ee、2‘j一U一1/3故B=(131,1321,63)所求规范正交基为21、r。1

12、_1e1=(十一于，于)一不二，百.)一，}3=一r--pu3二(于3’于)JJ丫2S122.编写正定矩阵由J性质4，可以根据A的列满秩性，写出正定矩阵ATA，这尸点给教师出题带来方便。例如:Z，卫2内J、l、148、1一11l20..，we.1we1es--5l一一-，-.es1例2巳知A1，显然秩(A)=3，故ATA5，是正定矩阵。内砚j1.1we81we1JJ了、o005、了乙3向量组线性相关性的判定一组。维向量A=(a>>+z}...}as)，当:>“时，该组向量一定线性相关;当‘=n时，可以由行列式det(A)是否为0说明该组向量是否线性

13、相关;当s