01数学思维策略和方法谈

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1、数学思维策略和方法一索法1•探索常从熟悉的地方开始【思考1】如图设点O在AABC内部,且有鬲+2亦+3況=0,则AABC的面积与AOC的面积的比为()35(A)2(B)-(C)3(D)-23作OE=OA+3OC(=-2OB)AB.O.E共线.SZAOC=S(AODE)/6.S(ABCO)=S(AOCE)72［仔细想想，粉么？］S(AOCE)=(1/2*1/6)S(AODE)=(2/3)S(AODE)••••S(ABCO)=S(AODE)/3=2SJAOC.SJABC=S(ABCO)+SJAOC=3SJAOC.三阳形ABC与AOC而枳的比fll是3i1【思考2

2、]＞已知X、y是止整数，且满足xy+x^y=ll5x2y+xy2=880,则x2+y7.146.Kta=.r+y9b=9xyx+y=a+h=71,x1y+xy2=xy(x+y)==880.所以"丄是F71/4-880=0的两个根.解得a=x4y=xv分别等于16和55.若x令y=5S,和，二16，显然无正整数解.所以.只冇X+y=16..cy=55.因此..r+y=(x+y)2xy=146,【练习】2+兀1、已知函数/u)=——，记广(1)+于(2)+/(3)+…+f(1000)=m,1+x)—fl91•探索常从问题的结论或条件变形着手【思考1】设［兀］为不超

3、过X的正整数，则10100+3的个位数字为【思考2】已知兀为互不相等的实数，且x+-=y+丄二z+丄侧x2y2z2=VZX【练习】1、函数/定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质：(1)f(x,y)=x；⑵f(x,y)=f(y,x)；(3)(x+y)f(x,y)=yf(x.x^y)。则/(2,2006)=o2、。是ABC所在平面上的一点，且OA・OB=OB・OC=OCOA,则O是ABC的()(A)垂心(B)重心(C)内心(D)夕卜心1•探索常从考虑简单变形着手【思考1】现在，请你用--条直线将一个矩形分成面积相等的两部分。当然，这样的直线我们能画出很多

4、条，你能说出所有这些直线的特征吗？【思考2】当n是正整数时，你能说出的整数部分是多少吗?4、1000个学生坐成一圈，依次编号为1,2,3,…，1000c现在进行1,2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2,凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？【练习】1、线段AB上有2007个点(包括A,B两点)，将点A染成红色，点B染成蓝色,其余各点染成红色或蓝色。这时，图中共有2006条互不重聲的线段。问：两个端点颜色相异的小线段的

5、条数是奇数还是偶数？为什么？2、在6X6的正方形网格中，把部分小方格涂成红色.然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的.那么，总共至少要涂红多少小方格？1•探索须充分利用已有信息思维优秀的解题者喜欢将信息重新编排（如各种各样的解释，由此及彼的联想），已知条件是信息;在中间过程得到的结果或引理也是信息;要证的结论，要求解的目标等更是重要的信息.如果题做不出，最好再看看这些东西,或许会有新的发现.JT3【思考1】已知&,0,了为锐角，sin2cr+sin2；0+sin2/=1,求证：一＜&+0+丫＜—兀。nn【练习】1、已矢口a,0w(O,—)

6、,且sin0=2cos(a+0)・sina(Q+0H—),求tan0的<2^<2/最大值。2、已知TT0是锐角，且4一0=;,试求sin2a+cos20-希sinacos0的值。2233、设a.b.c是正实数，且abc+a+c=b，试确定p=z——+—的最大值.CT+1少+1C+15•探索也可以尝试“跟着感觉走”【思考1】实数满足x+y=z-l，兀y=F_7z+14，问%2+y2的最大值是什么?在z为何值时x2+y2取最大值?【思考2】实数q,0满足6?+3q2+5g+17=0,02+302+50—11=0。求q+0的值。【思考3】记人、若o+b+c=abc,

7、则A=A加+人“+4力的值为—.xy课外思考1、任给13个不同的实数，求证:至少存在两个,不妨设x和y满足不等式:0＜上工＜2-V3ol+xy2、在数列｛兀“｝中,X]=2,x2=7,陥2等于xwxM+l的个位数，则x2007=o3、设a,b,c为正数，有a+b+c=3f证明：4a+y[b+4c＞ab--be+cao4、设a,b,c为三个不同的实数，使得方程x2+ax+=0和x2+bx+c=0有一个相同的实根，并且使方程X2+X+(7=0X2+CX+/?=0也有一个相同的实根，试求d+/?+C。