常见的分类讨论问题解题策略

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1、常见的分类讨论问题解题策略（仅供教师参考）许多数学问题由于受某些因素的限制，例如概念的不同，位置的不同，范围的不同，性质的不同等，不能按统一的方法、统一的标准或同一的公式來进行处理，这就需要我们对所研究的对象进行分类，然后进行讨论.分类讨论的思想法是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想叮以将问题的条件和结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚，刻画得十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高

2、中数学的各个部分，形式多样、综合性强，对于培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性有着十分重要的作用.▲引起分类讨论的因素：（1）涉及的数学概念是分类定义的；（2）涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；（3）涉及题中所给的限制条件或研究对象的性质而引起的；（4）涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；（5）涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的；（6）一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的.在解题中，我们要明确分类的原I大I是什么？对象是什么？掌握好分类的原则，这被称之为逻

3、辑划分•同时，我们有要把握好分类讨论的时机，重视分类讨论的合理性和完整性.▲分类讨论的基本原则：（1）按引起讨论的原因分类；（2）不重复、不遗漏；即每一类均是定义域的真子集，任何两类的交集为空集，所有各类的并集为定义域；（3）每一类中自变量的取值对结论的影响是相同的；（4）分类应是最少的.▲分类讨论的基本步骤：（1）确定讨论对彖和研究的全域范围；（2）按照科学的分类原则进行分类；（3）逐类进行讨论；（4）归纳总结讨论的结果.每当我们努力解决一个非常复杂的问题时，如果能出现一个非常惊人的转折：它把这齐个复杂的问题分解为若干的

4、部分，通过简单的方法就能轻而易举的解决了，这就是我们平时所讲的真正的一•种数学美.它展现了“建筑”结构上的“优美”，又让你体验了人类在追求的完美的口标，即数学的“简洁美”，清晰易懂和不失数学的严格性•因为人类学习数学的口的就是为了能尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界.下而就根据不同的分类原则，举例说明：一.按元素存在的不确定性进行分类讨论例1:已知非空集合M=j)

5、y/2x-j+logat=0,a>0,1

6、,N={(y)卜2+b=3},当MC

7、N=0时,求f得取值范围.解：设圆心(0,0)到直线V2x-y+logwt=0

8、的距离为〃,则V3当a>l时，

9、logrt/>3,故f>4’或Ovfva~3；当0vav1时，（＞。―彳或0vfva'・点评：本题根据对数中底数的定义及性质进行分类，解决了不等式解的问题.例2:[1知函数/(x)=-acos2x一2f3asinxcosx+2a--b的定义域为[o,勻，值域为[-5,1],求常数a#的值.解：化简函数表达式得f(x)=-2acoslx-—+2a+〃,i3jV00H寸，b

10、,-5n—b=1a=—2当avOU寸，3a+bV3a+〃=_5b=l点评：本题根据函数单调性的定义进行分类，解决了函数的值域问题.二.按概念、定理、公式进行分类讨论:例3：已知直线2经过点P(-3,l),且被圆X2+/=25截得的弦长为8,求直线/的方程.解：当？的斜率不存在时，即/垂直于工轴时，如图所示，综上，直线/的方程为工=一3或4兀一3y+15=0・点评：本题根据斜率的存在性进行分类，也可不分类直接设直线的法向量，但计算相对要繁琐一些.＞方＞0)的弓玄BM例4：如图，过点〃((),」)作椭圆(1

11、)iS

12、BM

13、2=/(j),写出/(y)的表达式;(2)求弦长

14、〃M

15、的最大值.解:(1)设M(x,j)为椭圆上任意一点，则=方）2222又由^r+vr=1得*=市（胪_尸）aub、'2a2y・2•+・2妙+/+(戸胪_丁2)+©+方『=1__=PBM（2）・・・4>方>0,.・・1-$<0,.・・创4有最大值,b3乂•・•ye[-b,b]・当则最大值在二次函数的顶点取^a2-b2到,2时,BM

16、max"吋,即a＜41b,则最大值在二次函数的端点取到即当y=b吋,a2-b2bBM2=冷；max1••・当亦-1--U(2,

17、+8)吋，Tn>Sn；,/,a>41b综上，BM=Ja1—b2Imaxv2b9aO,©=1,2,・・.)；(1)求公比g的取值范围；3(2)设bn=an+2