2019版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质练习（含解析）新人教B版选修

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1、2.2.2　椭圆的几何性质课时过关·能力提升1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为(　　)A.54B.32C.22D.12答案:B2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是(　　)A.x24+y23=1B.x216+y212=1C.x24+y2=1D.x216+y24=1解析:由x2+y2-2x-15=0,知圆的半径为4,故2a=4,即a=2.又e=ca=12,则c=1.故b2=a2-c2=4-1=3.故选

2、A.答案:A3.已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,Q,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(　　)A.3B.32C.33D.22解析:在Rt△PF1F2中,设

3、PF1

4、=m(m>0),由已知得

5、F1F2

6、=3m,

7、PF2

8、=2m,则e=ca=2c2a=F1F2PF1+

9、PF2

10、=33.答案:C4.若方程x2a2-y2a=1表示焦点在y轴上的椭圆,则a的取值范围是(　　)A.a<0B.-11解析:因为方程x2a2

11、-y2a=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以a<0,a2<-a⇒a<0,-1

12、-1(舍去).故选B.答案:B6.若椭圆x2k+8+y29=1的离心率为12,则k=　　　　　. 解析:当椭圆的焦点在x轴上,即k>1时,b=3,a=k+8,∴c=a2-b2=k+8-9=k-1,∴k-1k+8=12,解得k=4.符合k>1,∴k=4;当椭圆的焦点在y轴上,即-8

13、圆相交于点A,B.当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是　　　　　. 解析:设椭圆的右焦点为F1,则

14、AF

15、=2a-

16、AF1

17、=4-

18、AF1

19、,所以△AFB的周长为2

20、AF

21、+2

22、AH

23、=2(4-

24、AF1

25、+

26、AH

27、).因为△AF1H为直角三角形,所以

28、AF1

29、>

30、AH

31、,仅当F1与H重合时,

32、AF1

33、=

34、AH

35、,所以当m=1时,△AFB的周长最大,此时S△FAB=12×2×

36、AB

37、=3.答案:38.已知直线x+2y-2=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离

38、心率e等于　　　　　. 解析:由题意知椭圆的焦点在x轴上,又直线x+2y-2=0与x轴、y轴的交点分别为(2,0),(0,1),它们分别是椭圆的焦点和顶点,所以b=1,c=2,从而a=5,所以e=ca=255.答案:2559.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点1,32,且离心率e=12,求此椭圆的方程.分析:由椭圆的离心率可得a,c的关系,从而知道b,c的关系,再由点在椭圆上,代入方程即可求得椭圆的标准方程.解:由题意知,椭圆的离心率e=12,所以ca=12,所以a=2c,所以b2=a2-

39、c2=3c2,所以椭圆的方程为x24c2+y23c2=1.又因为点1,32在椭圆上,所以14c2+3223c2=1,所以c2=1,所以椭圆的方程为x24+y23=1.★10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4,求椭圆的方程.分析:由离心率e=ca=32及a2=b2+c2,可得a=2b.由菱形面积为4,可得ab=2.两式联立可求得a,b,从而得到椭圆的方程.解:由e=ca=32,得3a2=4c2.再由c2=a2-b2,解得a=2b.由题意可

40、知12×2a×2b=4,即ab=2.解方程组a=2b,ab=2,得a=2,b=1.所以椭圆的方程为x24+y2=1.