2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质练习新人教A版

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1、2.3.2　双曲线的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1若等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),则其标准方程为(　　)A.x29-y29=1B.y29-x29=1C.y218-x218=1D.x218-y218=1解析:∵等轴双曲线的焦点在x轴上,∴可设标准方程为x2n-y2n=1(n>0),∴n+n=62,即2n=36.∴n=18.故选D.答案:D2若中心在坐标原点,离心率为53的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为(　　)A.y=±54xB.y=±45xC.y=±43xD.y=±34x解析:依题意可设y2a2-x2b2=1(a>0,b>

2、0),得e=ca=53.设a=3k,c=5k(k∈R,且k>0),则b2=c2-a2=25k2-9k2=16k2,则b=4k.故其渐近线方程为y=±34x.答案:D3已知双曲线x2a2-y25=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于(　　)A.31414B.324C.32D.43解析:由a2+5=32⇒a=2⇒e=ca=32,选项C正确.答案:C4设曲线C是双曲线,则“C的方程为x2-y24=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当C的方程为x2-y24=1

3、时,其渐近线方程一定为y=±2x,但当渐近线方程为y=±2x时,C的方程为x2-y24=k(k≠0),不一定为x2-y24=1,故为充分不必要条件.答案:A5若直线过点(2,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条解析:当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,此时直线与双曲线相切于右顶点,满足条件;当直线l的斜率存在时,若与双曲线的渐近线平行,也满足条件,因此一共有3条直线满足题意.答案:C6双曲线x24-y212=1的焦点到渐近线的距离为______________________. 解析:

4、双曲线x24-y212=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=±3x,故焦点(4,0)到渐近线y=3x的距离d=433+1=23.答案:237设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为______________________. 答案:x216-y29=18直线2x-y-10=0与双曲线x220-y25=1的交点坐标是______________________. 答案:(6,2)或143,-239设F1,F2分别是双曲线x2a2-y

5、2b2=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且

6、AF1

7、=3

8、AF2

9、,求双曲线的离心率.解:因为AF1⊥AF2,所以

10、AF1

11、2+

12、AF2

13、2=

14、F1F2

15、2=4c2.①因为

16、AF1

17、=3

18、AF2

19、,所以点A在双曲线的右支上.则

20、AF1

21、-

22、AF2

23、=2a,所以

24、AF2

25、=a,

26、AF1

27、=3a,代入到①式得(3a)2+a2=4c2,c2a2=104.所以e=ca=102.10求满足下列条件的双曲线方程:(1)以2x±3y=0为渐近线,且经过点(1,2);(2)离心率为54,虚半轴长为2;(3)与椭圆x2+5y2=5共焦点且一

28、条渐近线方程为y-3x=0.解:(1)设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),将点(1,2)代入方程可得λ=-32,则所求双曲线方程为4x2-9y2=-32,即9y232-x28=1.(2)由题意,得b=2,e=ca=54.令c=5k,a=4k(k∈R,且k>0),则由b2=c2-a2=9k2=4,得k2=49.则a2=16k2=649,故所求的双曲线方程为9x264-y24=1或9y264-x24=1.(3)由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为(±2,0),又双曲线的一条渐近线方程为y-3x=0,则另一条渐近线方程为y+3x=0.设所求的双

29、曲线方程为3x2-y2=λ(λ>0),则a2=λ3,b2=λ.所以c2=a2+b2=4λ3=4,所以λ=3.故所求的双曲线方程为x2-y23=1.能力提升1若双曲线mx2+y2=1的焦距是实轴长的5倍,则m的值为(　　)A.-14B.-4C.4D.14解析:∵mx2+y2=1是双曲线,∴m<0,且其标准方程为y2-x21-m=1.∵焦距是实轴长的5倍,∴虚轴长是实轴长的2倍.∴-1m=4,即m=-14.答案:A2若双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=(　　)A.3B.2C.3D.6解析:双曲线的渐近线方程

30、为y=±22x,圆心坐标为(3,0),由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切,可得圆心到渐近线的距离等于r,即