2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质练习（含解析）新人教A版

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1、2.3.2双曲线的简单几何性质[A基础达标]1．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线的方程为()2222xyxyA．－＝1B．－＝12525992222yxxyC．－＝1D．－＝11616161622解析：选D．由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x－y＝λ(λ≠0)，将222222xy点(5，3)代入方程，可得λ＝5－3＝16，所以双曲线的方程为x－y＝16，即－＝1.161622xy52．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝，且其右焦点F2的坐标为(5，0)，22ab4则双曲线C

2、的方程为()2222xyxyA．－＝1B．－＝1431692222xyxyC．－＝1D．－＝1916342c5x解析：选B．依题意得e＝＝，又c＝5，故a＝4，所以b＝3，所以双曲线C的方程为a4162y－＝1.故选B．922xy3．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4，0)22ab到C的渐近线的距离为()A．2B．232C．D．222c222解析：选D．法一：由离心率e＝＝2，得c＝2a，又b＝c－a，得b＝a，所以双曲a4线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式

3、，得点(4，0)到C的渐近线的距离为1＋1＝22.故选D．法二：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距4离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝22.故选D．1＋14．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为()45A．B．33C．2D．322xy解析：选B．不妨设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2×2b＝2a＋2c，即22aba＋c2a＋c22222222b＝.又b＝c－a，则2＝c－a，所以3c－2ac－5a＝0，即3e－2e－5＝0，注意25到e＞1，

4、得e＝.故选B．322xy5．如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则910

5、P2F1

6、－

7、P1F1

8、的值是()A．3B．4C．6D．8解析：选C．设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知

9、P1F1

10、＝

11、P2F2

12、，所以

13、P2F1

14、－

15、P1F1

16、＝

17、P2F1

18、－

19、P2F2

20、＝2×3＝6.6．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与

21、x轴的交点222坐标为(－4，0)，故双曲线的一个焦点为(－4，0)，即c＝4.设等轴双曲线方程为x－y＝a，22222xy则c＝2a＝16，解得a＝8，所以双曲线方程为－＝1.8822xy答案：－＝1882222xyxy7．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1与C2的离abab3心率之积为，则C2的渐近线方程为________．22222a－ba＋b322解析：依题意得·＝，化简得a＝2b.aa2b1因此C2的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±2y＝0.a2答案：x±2y＝022

22、xy8．设M为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上一点，A，F分别为双曲线的左顶点和22ab右焦点，且△MAF为等边三角形，则双曲线的离心率为________．解析：设双曲线的左焦点为F′，因为△MAF为等边三角形，所以

23、MF

24、＝

25、AF

26、＝a＋c，从222而

27、MF′

28、＝3a＋c，在△MFF′中，由余弦定理可得(3a＋c)＝(a＋c)＋4c－2×2c×(a＋c)cos60°，解得e＝4或e＝－1(舍去)．答案：49．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近

29、线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.解：(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.222由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b＝c－a22＝6－3＝27.2222xyyx由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.92792722xy22(2)设双曲线方程为4x－9y＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.λλ4922λxy当λ＞0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；49422x－λy当λ＜0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－

30、＝1.998142222xxyy故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.94981422xy10．设双曲线－＝1(0

31、b·0＋a·0－ab

32、3解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－