数学：解题突破思维障碍策略解析

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1、数学：解题突破思维障碍策略解析一、语言转译数学语言包括文字语言、符号语言及图形语言三种，它们各有自己独特的规律和长处解题时，若能及时将题H条件与结论中读不懂的部分，由原有的表述样式，转译为新一种表述样式，则可以帮助我们突破语言关卡，读懂或切入题意.例1函数y=f(x)在(一co,0］上是减函数,而函数y=f(x+l)是偶函数,设a=f(log0.54)>b=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.b

2、受阻.若能转换语言形式，运用图形语言和图形变换考察题设条件，知函数y=f(x+l)的图像关于y轴对称，而函数尸f(x+l)的图像由函数y=f(x)的图像向左平移1个单位得到，所以y=f(x)的图像关于直线x=l对称,由尸f(x)在(一8,0］上递减,知y=f(x)在xW［2,+oo)上递增,・・.f(~2)=f(4),而2<3・・・f(3)vf(7c)vf(4),即b

3、识常识，充分展开接近联想、相似联想、对比联想，改变问题情境，常能冇效地使思路畅通，哄至诱发直觉、顿悟，激发灵感，获得创造性的解法.思维求变、求界、多向发散、拓展联想空间,促进信息迁移，使问题获得多种不同的解题途径，优化解法是决胜数学高考的一个不可缺少的思维策略.例2设函数f(x)的定义域中R,对任意的xl,x2fl*f(2xl)+f(2x2)=2f(xl+x2)xf(xl-x2),f(l)=0,判定f(x)是否为周期函数?若是，求出它的一个周期。解析：特殊探路，联想三角公式，不难发现y=cosx满足题设条件，因为f(x)=cosx的周期T=2tt,且cosM2=0,故类比推测

4、F(x)是周期4的周期函数。事实上:f(2x2)+俗2)=2f(x).f(1)=0.Af(x+l)=-f(x-1)即f(x+2)=—f(x),f(x+4)=--f(x+2)=f[-f(x)]=f(x)o故丫丸刈是周期函数，4是它的一个周期。三、思维逆向逆向思维是较高层次的思维方式，也是数学高考思维能力考查的一个要点.逆向思维包含多种形式，常见形式有：①逆向分析②逆川知识③逆向推求④反证法⑤反面求补等。例3已知集合M={(x,y)ly2=2x},N={(x,y)l(x-a)2+y2=9}»求MAN^(p的充要条件.f宀2x解析：剔1MAN丸)的充要条件是方程组1("一“)+»二

5、5*至少有一个实数解，且沦0,即x2+2(l-a)x+a2-9=O至少有一个非负根.由△20,得aS5,此时若顺向思维，则情形较繁，求解困难，若逆向思维，考虑至少有一个非负根的反面是两个负根(只有一种情形).立知上述方程有两个负根的充要条件应为AN0,且xl+x2<0,xIx2>0,即一2(1—a)<0,Ka2—9>0,解得a<—3,从而知所求充耍条件为：一3Wa<5.四、数形结合数学解题中，不能充分揭露题目的隐含条件，找不到解题的突破口时，冇意识地运用数形结合思想转换思维角度，赋条件和结论屮的数武以图形，或给条件和结论屮的图形以数式的解释，以形释数，山数思形，把代数式的精确

6、刻画与几何图形的宜观描述有机地结合起來，尽现题H丰富的种种联系，许多思维障碍便不攻口破了.4例4设函数f(x)=a+X~,g(x)=3x+1,已知X曰一4,0]时，恒有f(x)Wg(x),求实数a的取值范围.4解析：f(x)0),表示以点(・2,0)为圆心，2为半径的半圆；②式表示斜率为?,截距为1—a的平行直线系，显然直线

7、系中与半圆O和切的直线AT(T为切点)即为所求临界值.如图.设直线AT的倾斜角为a,则tana-兀-2a<

8、OB

9、・tana=2x彳二6,要使f(x)6即aS-5.五、分解突破对不易识别模式，进行形式转换，或情境较复杂，不易整体突破的非常规问题，根据问题的结构，数学对象的内涵(本质属性)和外延(使用范围)，灵活转换思维角度，运用分解、分割、分离、分情况等策略,转化为一些相关连的小的了题目，就常常化