高等数学竞赛分析

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1、高等数学竞赛分析（一）1、设d>o,{xn}满足:兀0>0,£卜1=—+—）,n=0丄2…，2兀“证明：｛占｝收敛，并求lim^。71—>00分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明｛xj单调且有界。证明：（1）证明:易见，xw>0,（n=0,1,2,…）,则兀+i二J兀彳=五，从而有：七+1七一O”+)耳一S°,2心2—故｛»?｝单调减少，且有下界。所以｛x“｝收敛。（2）设limx/?=1,在兀冲=丄（心+一巳）两边同时取极限得2Xnz=黒心专!竺（心+十）专解之得l=4

2、a,即hmxn=/ao>82、设于⑴在x=0的邻域具有二阶导数，且lim之3,誹/(0),广(0)及广'(0)・分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。解由lim[l+x+^^];=，得xtOXln[l+x+^^]lim=3,XT()X因为分母极限为零，从而分子极限为零，即limln[l+无+厶^]=0,XTOX可以得到lim^^=O,同样，我们有lim/(x)=O=/(O),x->()由导数的定义得广(0)=lim'XKO)=0."TOX

3、-0因为/(兀)在x=0的邻域具有二阶导数，由泰勒公式得/⑴二*厂(0)/+0C?)(兀tO))两边取极限得li足厂(())+呻]=2,Z)2x2故厂(0)=4。3、设tz>0,且/(兀)在[a,+co)满足：Vx,ye[a,+oo),f(x)-f(y)

4、4、设函数/(x)=:'且f11(0)存在，试确定常数日，b,a[ax"+bx+c,x>0分析：这是一个分段函数，分段函数在分段点的导数要用定义求。解：由条件可知函数/(兀)在兀=0处连续，故c=/(0)=1oQx<0由条件可知广(兀)在兀=0处连续，且广⑴斗''，故/7=广(0)=1。Zax+仇x>0〔幺'tv0・cxx0,2d,x>021rx5、设当x>-l时，可微函数/(兀)满足条件ff(x)+f(x)I/(r)dr=O,且X+1/(0)=1

5、,试证：当x>0时，有e-'OW,/(x)

6、xdydzo222其中V是椭球体于右+于I。分析：计算二重积分和三重积分是数学竞赛和考研的基本内容，这种题目都是将重积分化成累次积分，而累次积分的关键是要确定出每个积分的限，确定积分的限一定要根据所给积分的图形区域，因此正确画出图形或者是想象出图形是解决问题的关键。解：由于ixdydz,22=+JJ计wfe+yd¥。其中必=(^-dx^dydz,这里D表示椭球面22Lb2z2+产2沪（1-令：S一斗）cTa它的面积为于是同理可得所以7、讨论积分+）=風（1一3）。龙(bjl—)(c1—\^dxclydz=£等"(1-汕二右圖。兀d

7、yc/z=^7iubc,^^^dxdydz=^7iabc。44/=3(——mbc)=—Tiabc。155xcosxf”从曲皿^的敛散性。xf）+xq分析：积分敛散性的讨论是数学中的一个难点，要用不等式技术和一些重要结论，其中Cauchy收敛准则起作很大的作用。解：首先注意到（1-刃対+（1-9）邪xp+xqr若max（p,（?）>1,则当x充分大时,YV。，从而当兀充分大时，函数占是递减的，且这时lim—-—XT+8XP+兀9Oo又因

8、£cosxdx=sinA<1（对任何4〉龙），故f8xcosxf心从收敛。若max（p,（7）<1,

9、则恒有X沁故函数e在宀上是递增的。于是'7正整数斤，有皿xp+Xqa/2717127lP+7lq4V28E"°'故不满足Cauchy收敛准则，因此FXC°SXc/x发散。xp+xq8、设/(x)在[0,1]上二阶可导，