资源描述：
《高等数学竞赛60题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、1、设在的邻域具有二阶导数，且，试求，及.分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。解由得，因为分母极限为零，从而分子极限为零，即，可以得到，同样，我们有，由导数的定义得。另外，注意：，得。2、设，且在满足：，有（为常数）。证明：在有界。证明：由条件知，，有，则，从而，故在有界。3、设函数且f¢¢(0)存在,试确定常数a,b,c.解：由条件可知函数在处连续,故。由条件可知在处连续,且,故。因此从而，故，则。4、设当时,可微函数满
2、足条件，且，试证:当时,有成立.证明:设由题设知,则所给方程可变形为.两端对x求导并整理得，这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得.由得,,可见单减.而,所以当时,。对在上进行积分得.5、计算三重积分。其中是椭球体。解：由于。同理可得，。所以。6、设在上二阶可导，求证：使.分析：罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等数学的重要内容，往往也是研究生考试和数学竞赛的命题的重点。平时练习时，采用多种方法去解决，能有效地提高解题能力。这种题目难点是构造出一个合适的函数。证1令则由洛尔定理知,,由洛尔定理知证2在展开
3、为一阶泰勒公式因故证3令,用两次洛尔定理。7、设f在上可微，且a与b同号，证明：存在，使（1）；（2）.证：（1）令，显然在上满足Cauchy中值定理的条件，所以，即.（2）令，显然在上满足Cauchy中值定理的条件，所以，即8、设是定义在上的函数，.且证明：在上可导，且.分析：由于已知条件：是一个很广的条件，要充分利用它；另外要用导数的定义。证明：由已知条件得.因为。所以在上可导，且.9、设，且，证明：.分析：从结论可以看出，绝对值里面刚好是，因此容易想到先求的导数。再用导数的定义。证明：因为，所以又，所以.即。10、
4、设f在上二阶可微，，，则方程在内至少有一根.证明：因为，不妨设，因，故，使，从而，使。因，故，使，从而，使得。又因在上可微，所以在上连续，由零点存在定理知，，使.于是在及上分别利用Rolle定理得，存在，使得..再在上用Rolle定理得，，使.即方程在内至少有一根.11、（浙江师范大学2004）设在上具有二阶导数，且满足条件，，其中都是非负常数，是内的任一点，证明。分析：如果函数高阶可导，并给定了导数或函数值，要求估计一个函数的界，往往用Taylor展开式。证明：因在上具有二阶导数，故存在使得同理存在使得将上面的两个等式
5、两边分别作差，得即因此而，故。12、设.证明：，使.证明：将在点处展开泰勒公式，得（在与之间）令得.令得.因为，所以.令，则，代入，得.13、（2003数一）将函数展开成的幂级数，并求级数的和.分析：给定反正切函数不能直接展开，它的导数是一个分式，因此可以考虑先求导数。解：因为又f(0)=,所以=因为级数收敛，函数f(x)在处连续，所以令，得,再由，得14、（2003数一）设函数f(x)连续且恒大于零，，，其中，(1)讨论F(t)在区间内的单调性.(2)证明当t>0时，分析：判定函数的单调性，往往要求导数。这是变限积分，
6、可利用变限积分的求导法则。解：(1)因为，，所以在上，故F(t)在内单调增加.（2）因，要证明t>0时，只需证明t>0时，，即令，则，故g(t)在内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0).又g(0)=0,故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，15、（2004年上海交大）计算积分：，其中D是矩形区域，。分析：关键在于去掉绝对值，要去掉绝对值就要将积分区域分块。解：，，16、求曲线积分，其中与为正常数，L为从点沿曲线到点的弧。分析：沿曲线积分的关键在于将所有变量都转化成某一变量，因
7、此将曲线写成参数方程就可以了。也可利用格林公式来解。解：因故而L的参数方程为所以因此17、设函数f具有一阶连续导数，存在，且，，（1）确定，使处处连续；（2）对以上所确定的，证明具有一阶连续导数.分析：分段函数的连续和导数，在分段点的导数一般用定义来求.解：（1）因为若处处连续，则在处连续.于是，且（2）因于是显然，当时，连续，当时，因为所以在处连续，故具有一阶连续导数.18、设幂级数,当时，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值.分析：注意到与的关系，容易想到要对级数求两次导。解（1）令，，求得（2）由.19
8、、（2003数一）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0
