高等数学竞赛资料(1)

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1、2006水木艾迪考研辅导基清华东门外创业大厦1006电话：62701055基础班微积分第1章预备知识函数概念数列极限1.1预备知识1.1.1实数集的性质实数连续性的描述:确界公理任何有界实数集合，必有最小上界和最小下界；但不一定有最大数或最小数。1.1.2绝对值y=x是一种函数表达形式，对任意实数x有⎧−xx<0⎪⎧−xx<0y=x=⎨0x=0，或记为y=x=⎨⎪⎩xx≥0⎩xx>0对任意实数x与a≥0有：x≤a⇔−a≤x≤a，并且，若a=0，则必有x=0。而x≥a⇔x≥a或x≤−a。1.1.3基本不等式（1）绝对

2、值不等式：−x≤x≤x,0≤x+x≤2x（2）三角不等式：∀x,y∈R，有x+y≤x+y且x−y≥x−y。122（3）平均值不等式：∀x,y∈R，有(x+y)≥xy21若x≥0,y≥0，则有(x+y)≥xy2π（4）对任意实数x∈[0,)有sinx≤x≤tanx2bb−1n(5)其他不等式:(1)a>b>1⇒>;(2)a≥−1⇒(1+a)>1+na,n为正aa−1整数。对以上不等式在应用中都应广义化，例如∀x,y∈R，有sin(x+y)−cos(x−y)≤sin(x+y)+cos(x−y)。因为sin(x+y)与c

3、os(x-y)均为实数，由不等式（3）即有本题不等式。1.1.4邻域与区间定义1.1邻域数轴上的点x的δ邻域是指点集N(x,δ)={xx−x<δ,δ>0}。000刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网1网址：www.tsinghuatutor.com电话627960322006水木艾迪考研辅导基清华东门外创业大厦1006电话：62701055邻域内的点是由不等式x−δ}。000去心邻域与邻域的区别仅在于不包

4、括x点。0区间:开区间(a,b)={}xaa,x∈R与[a,+∞)={xx≥a,x∈R}，(−∞,+∞)={}xx∈R，与(−∞,b)={xx

5、x的函数，记为y=f(x)。这里，重要的是函数关系f(⋅)，而记号x（自变量）与y（因变量）是人为取定的。实数集X应视为使函数关系f(⋅)有意义的全体实数构成的集合，称为f(⋅)的定义域；而对一切由f(⋅)确定的全体实数构成的集合Y，则称之为f(⋅)的值域。函数关系f(⋅)有时也记为f:X→Y,X⊆R，或f:X→R,X⊆R。在微积分这门课程里，对一个函数的表达，除了用代数表达式及图表以外，还会有许多重要的表达方式，比如，一个函数关系可以由方程（隐函数）、（含参数）极限、微分方程、积分、级数等手段来表达。1.2.1函

6、数的初等性质掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要。函数的初等性质包括以下几个方面。(1)增减性（单调性）定义1.3设函数y=f(x)定义域为X，若∀x,x∈X，当x

7、刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网2网址：www.tsinghuatutor.com电话627960322006水木艾迪考研辅导基清华东门外创业大厦1006电话：62701055定义1.4设函数y=f(x)在对称的定义域内满足f(−x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数。而当函数y=f(x)在对称的定义域内满足f(−x)=−f(x)时，则称y=f(x)为奇函数。广义奇偶性（偶对称与奇对称）若y=f(x)的图形有对称轴x=a，则应有f(a−x)=f(a+x)（将视为参数），令g(x)=f(a−x)，则有g(−x)=f

8、(a+x)=f(a−x)=g(x)，因此g(x)为偶函数。若y=f(x)的图形有对称中心(0a,)，则应有f(a−x)=−f(a+x)（将视为参数），令g(x)=f(a−x)，则有g(−x)=f(a+x)=−f(a−x)=−g(x)，因此g(x)为奇函数。以上这种性质称为函数f(x)的广义奇偶性或对称性。(3)周期性定义1.5若存在一个正数T，使函数y=f(