【精品】数值分析教教案10

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1、2.4复合求积公式前面导出的误差估计式表明，用牛顿-柯特斯公式计算积分近似值时，步长越小，截断误差越小。但缩小步长等于增加节点，亦即提高插值多项式的次数，龙格现象表明，这样做并不一定能提高精度。理论上已经证明，当riM时，牛顿-柯特斯公式所求得的近似值不一定收敛于积分的准确值，而且随着兀的增大，牛顿-柯特斯公式是不稳定的。因此，实际中不常用高阶牛顿-柯特斯公式，为提高计算精度，可考虑对被积函数用分段低次多项式插值，由此导出复合求积公式。2.4.1复合梯形公式1.复合梯形求积公式的基本原理在实际应用中，若将积分区间划分成若干

2、个小区间，在各个小区间上采用低次的求积公式（梯形公式或抛物形公式），然后再利用积分的区间可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复合求积公式的基本思想。以梯形面积近似曲边梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值。如图2T所示，这样求得的近似值显然比用梯形公式计算精度高。定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小区间的长度趋于零时，小梯形面积之和趋于曲边梯形面积的准确值，即定积分的准确值。y=1111••11••1111••11••1111••1110abx图2T复合梯形求积示意图将积分区间［⑦切〃等分

3、，记/?=□忑=Q+kh伙—0,1,・•・，〃)在每个/j区间［忑，耳+J伙=0丄…,n-1)上用梯形公式并求和，得n-lI.+lfM^xq工牙［/（无）+/（无+i）］£=0丄rbf(x)ax=Ja整理得Cbh㈡打⑴心尹。)+®+2§m)］=n-Tnk=（2-19）式(2-19)称为复合梯形公式。如果/(x)uC⑵se］,在小区间［忑，无+1］上，梯形公式的截断误差为ff（兀）+/（忑+1）】=-込f"G）冬u（忑，耳+1）因此RT（f）=jMdx-T=-因为广©）在⑺“］连续，由介值定理，存在二&（。力），借寻

4、从而有bj31Rt(门=if(x)dx-T=-—nf^=—-^-h2f,f^)ge(a,b)Ja1212（2-20）这就是复合梯形公式的截断误差。下面简单讨论复合梯形公式的数值稳定性。设计算函数值/（兀）时产生误差为6伙=°丄・・・加，则用式（2-19）计算结果n-的误差为同=»&+£+2E6Sh艘皈

5、}=@-d)maxH

6、}k=/TT0

7、x0=a.xn-bfunctions二traprl(f,a,b,n)%f是被积函数；%a,b分别为积分的上下限；%n是子区间的个数；%s是梯形总面积；h二(b-a)/n;s二0;fork=1:(n-1)x二a+h*k;s二s+fevaIf',x);s二h*(fevaICf1,a)+fevaI('f',b))/2+h*s;【例2-8］利用程序计算积分/二。解：先用M文件定义一个名为f.m的函数:functiony二f(x);y=/(Z2);在命令窗口输入:»traprl(*1/(1+x^2)1,-1,1,10)回车得到:an

8、s—1.5675•11T1+/dxq1.56752.4.2复合Simpson公式1.复合Simpson求积公式的基本原理如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用Simpsom公式计算积分近似值，就导出Simpsom复合公式。将积分区间［。，切分成n=2m等分，分点为，b—（2Xk=a+kh（k=°丄・•・曲）h=在每个小区间［兀2£-2，兀2』（*=12…，加）上，用Simpsom公式求积分，则有CfMdX”邑訐”("2)+4/(")+/也)]J[/(X2k-2）+4/（兀2_1）+于（心）］求和得如果f(X)G

9、C⑷S,b]由Simpson插值余项公式可得复化公式的截断误差为m=s-k=(W2880/⑷©G[X2k-2^CX2kf(x)dx/(劝心刃k=2k-2mI.a工亍/(x2k-2)+4/(兀2_1)+/(兀2』k=l3整理后得到Lj俨-j加)]fMdxa-If(a)+f(b)+2^f(x2k)+4工/(g-3k=k=(2-21)xt(2-21)称为复合Simpson公式。因为/(4)(%)为连续，故存在使得1m/⑷©=丄£/⑷嚴)mk=i代入上式得红匸/?/⑷©兵(a,b)(2-22)式(2-22)表明，步长％越小

10、，截断误差越小。与复合梯形公式的分析相类似，可以证明，当〃=2mToo时，用复合Simpson公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具有数值稳定性。2.复合抛物形求积公式的MATLAB实现functions=simprl(f,a,b,n)%f是被积函数；%a,b分别为积分的上下限；%n是子区间的个数；