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1、如图所示，ZXABC中，ZB,ZC的平分线BE,CF相交于O,AG丄BE于G,AH丄CF于H°（l）求证:GH〃BC;（2）若AB=9厘米,AO14厘米,BC=18厘米，求GH.（3）从本题的证明过程中,我们得到启发：若将条件“ZB,ZC的平分线”改为“ZB（或ZC）及ZC（或ZB）的外角平分线”（如图1所示），或改为“ZB,ZC的外角平分线”（如图2所示），其余条件不变，那么，结论GH〃BC仍然成立.同学们也不妨试证.（1）若延长AG,设延长线交BC于M.山角平分线的对称性可以证lyjAABG^AMBG,从而G是AM的中
2、点；同样，延长AH交BC于N,H是AN的中点，从而GH就是AAMN的屮位线，所以GH〃BC；（2）利用AABC的三边长可求出GH的长度.解答：懈:（1）证明：分别延长AG,AH交BC于M,N,在厶ABM中，由已知，BG平分ZABM,BG丄AM,所以△ABG^AMBG(ASA).从而，G是AM的中点•同理可证△ACH9ANCH（ASA）,从而，H是AN的中点.所以GH是AAMN的中位线，从而，HG〃MN,即HG〃BC.（2）解：由（1）知，AABG^AMBG及厶ACH^ANCH,所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米.
3、乂BC=18厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4（厘米），15MC=BC-BM=18-9=9（厘米）.从而MN=1849=5（原米），Z.GH=2mN=2cm.说明（1）在木题证明过程屮，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一（即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线）性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”.（2）“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：喏三角形一个角的平分线也是该角对边的中线,则这个三角形是等腰三角形，这
4、条平分线垂直于对边”.同学们不妨自己证明.（3）从木题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“ZB,ZC的平分线”改为“ZB（或ZC）及ZC（或ZB）的外角平分线”（如图1所示），或改为“ZB,ZC的外角平分线”（如图2所示），其余条件不变，那么，结论GH/7BC仍然成立.同学们也不妨试证.CB第十四讲中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.例1如图2・53所示.AABC中，AD丄BCTD,E,F,3G分别是AB,BD,AC
5、的中点.若EG=》EF,AD+EF=12厘米，求AABC的而积.分析：打条件知，EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线.利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求LBAABC的高AD及底边BC的长.解山已知，E,F分别是AB,BD的中点，所以，EF是AABD的一条中位线，所以EF=^AD,即AD=2EF・由条件AD+EF=12（厘米）得EF=4（厘米），从而AD=8（厘米），33EG=-EF=-X4=6〔厘米）・由于E,G分别是AB,AC的屮点，所以EG是AABC的一条屮位线，所以BC=2EG=2X6=1
6、2（M米），显然，AD是BC上的高，所以S沁昂BCW=£xi2X8=48（平方厘米）・例2如图2-54所示.AABC屮，ZB,ZC的平分线BE,CF相交于O,AG丄BE于G,AHICF于H.⑴求证：GH〃BC：(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH.分析：若延长AG,设延长线交BC于M.山角平分线的対称性可以证明△ABG^AMBG,从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N,H是AN的屮点，从而GH就是AAMN的中位线，所以GH〃BC,进而，利用AABC的三边长可求出GH的长度.⑴证：分别延长AG,
7、AH交BC于M,N,在AABM屮，由已知，BG平分ZABM,BG丄AM,所以△ABG竺ZXMBG(ASA).从而，G是AM的中点•同理可证△ACH仝△NCH(ASA),从而，H是AN的屮点.所以GH是AAMN的屮位线，从而，HG〃MN,即HG〃BC・(2)解由(1)知，△ABG^AMBG及△ACH9ZNCH,所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14M.米.又BC=18ffi米，所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=1&9=9(厘米).从而MN=1&4-9=5(厘米)，所以GH=^MN=
8、(厘米)
9、・说明(1)在木题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线）性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的屮线，这个三和形是等腰三角形”・（2）“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形
