【精品】浅谈数学归纳法

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1、浅谈“数学归纳法”论文摘要：“观察一归纳一猜想一论证”的思想方法，既能发现问题，又能证明结论，述能激发学习兴趣，它是由揭露个别事物或某一•对彖的部分屈性过渡到一般或整体的思维形式。由于归纳推理的过程和人类认识进程的一致性，因而这种推理方法显得非常自然，容易被人接受，是认识数学真理的一个重要手段，其地位越来越重耍，数学归纳法正是应用这一思想方法来证明某些与自然数n有关的数学命题的一种方法。木文简单总结了一下它的基木依据和证明过程，以及它两个条件的内在联系，然后回顾了一下数学归纳法的各种其他形式，在原来

2、的基础上拓宽了对数学归纳法的认识。最后举例说明数学归纳法的应用，其屮有代数、不等式方面的证明，也有儿何方面的典型例子，从屮可以窥见数学归纳法的强大功能。正文：已知最早的使用数学归纳法的证明出现于FrancescoMaurolico的Arithmeticorumlibriduo（1575^43。Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是"2,由此揭开了数学归纳法之谜。最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下血两步组成：（1）递推的

3、基础：证明当n=l时表达式成立。（2）递推的依据：证明如果当n二m时成立，那么当n二m+1时同样成立。这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式屮是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程屮。或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的宜立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：第一张骨牌将要倒下，只耍某一个骨牌倒了，与Z相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。这样就确定岀一种递推关系，只要

4、满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。这样，无论有多少骨牌，只耍保证（1）（2）成立，就会全都倒下。一.数学归纳法（证明某些与正整数”有关的命题时常常采用的方法）证明命题的步月（1）（归纳奠基）证明当"取第一个值弘（"oEN・）时命题成立;（2）（归纳递推）假设当“疋时命题成立，证明当心疋+1时命题也成立；根据（1）和（2）,可知命题对于从开始的所有正整数"都成立.应用类比的方法，类比多米诺骨牌游戏和数学归纳法，在多米诺骨

5、牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.在多米诺骨牌游戏过程中，第疋块骨牌不能拿走，因为第力块骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性.分析：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）（归纳奠基）证明当"取第一个值％（呦EN•，例如％二1或久=2）时，命题成立.根据“任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下”，抽彖出数学归纳法的第二步，即（2）（归纳递推）假设“上时命题成立，证明当旳=上+］时命题也成立.从完成“多米

6、诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1）,（2）可知，命题对于从％开始的所有正整数七都成立.通过对多米诺骨牌游戏的分析，让我们了解了从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤.一.数学归纳法与其他数学方法的区别：“数学归纳法”它可以完成通过有限个步骤的推理，证明七取所有正整数都成立的命题的证明.例如，在高中阶段，在等差数列和等比数列

7、知识的学习过程屮，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，然而其屮止确性的严格证明则需要用数学归纳法进行.归纳法和演绎法都是重要的数学方法，归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只是用于数学发现规律，不是用于数学严谨证明。数学归纳法不是演绎法，而是一种递归推理。它是在可靠的基础上，利用命题口身具有的传递性，运用“有限”的手段，來解决“无限”的问题.它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，乂克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限

8、到无穷•其蕴含的数学思想方法有归纳的思想，递推的思想，特殊到一般的思想，有限到无限的思想方法.一.数学归纳法的基本理论依据:数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理。数学归纳法证明的是与自然数有关的命题，它的依据是皮亚诺提出的自然数的序数理论，就是通常所说的自然数的皮亚诺公理，内容是：设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①leM；②若keM，贝+.那么M是全体正整数的集合，即=）也叫做归纳公理.设P是一个与正整数有关的命题，我们把使P成立的所有正整数组成的集合