浅谈数学归纳法及其应用.doc

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1、浅谈数学归纳法及其应用　　【摘要】数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的科学方法，其应用十分广泛。从初中接触数学归纳法开始，它就和我们结下了不解之缘。了解数学归纳法的发现和发展的历史，是掌握数学归纳法的基础。理解数学思想方法和原理，是掌握数学归纳法的重要途径。运用数学归纳法思想于生活中解决实际问题，是学习数学归纳法的目的　　【关键词】数学归纳法;递归　　　　数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的方法。从它被纳入初中数学教学大纲就可以看出它的重要性。在实践中，用于证明问题的方法越来越多，但首选还是数学归纳法，因为它是最直观、最简便的。　

2、　一、数学归纳法的内涵　　数学归纳法是一个很重要的证明方法，从数学归纳法被发现、发展到实用，关于它的相关知识逐渐丰富到逐步完善。了解数学归纳法的发现和发展的历史，是掌握数学归纳法的基础。理解数学思想方法和原理，是掌握数学归纳法的重要途径。数学归纳法的灵魂是递归思想，掌握它不但能培养我们以数学思想思考问题的习惯，还能提高我们总结经验、归纳规律的能力。　　（一）数学归纳法的本源8　　先从少数的事例中摸索出规律，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一。以小孩子识数为例。他们刚开始都是从一学起，一直学下去，直到某一时刻，他们领悟了，所有

3、的数字都会数了。这是一个认识的飞跃，竟从有限跃到了无穷！这就是一个规律的总结。解释这个飞跃现象的原理，就是数学归纳法。数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物，由简到繁，由有限到无穷。　　我们认识事物的时候，会自然的总结事物的规律，用一种设想将事物给描述出来。当我们对事物有了新的认识的时候，我们要推翻前面的设想，再总结出一个新的设想。首先我们可以把对该事物最基本的认识做为第一个命题，这是能够保证其正确性的;如果我们可以证明在此基础上的第k个认识是正确的时候，第k+1个认识也是正确的，那么，这一系列认识就全部正确。前面的例子也很直观的说明了这个问题。　　（二）

4、数学归纳法的发展历史　　正整数可以说是人们最先认识的数学概念之一。关于正整数，人们最初只是对有限个正整数的问题进行处理。而正整数是一个无限集。人们研究正整数就不可避免的要涉及到无限集的问题。但人们不可能对正整数做无限次的操作，所以人们只有通过某种方法来实现以有限次的操作去获取无限集的某些性质，来研究涉及无限集的问题。　　1893年，意大利数学家皮亚诺建立起正整数的公理体系，他把数学归纳法作为一条公理纳入他的正整数公理系统之中。其形式一般为：　　“如果一个由正整数组成的集合S包含有1，又如果S包含有某一数a，就必然也包含有a的后继（即a+1），则S就包含所

5、有的正整数。”8　　此后，数学归纳法成为证明关于正整数的命题的首选方法，并且又发展出若干变型，如第一数学归纳法，倒推数学归纳法等。　　（三）数学归纳法的本质　　对于数学归纳法本质的认识，是学习数学归纳法并能正确应用数学归纳法的关键。　　数学归纳法被明确提出并广泛应用的很长一段时间里，它的逻辑基础仍是不明确的。直到1889年，意大利数学家皮亚诺发表了《算术原理新方法》，建立起关于正整数的5条公理，才使严格意义下的数学归纳法得以进一步明确。　　正整数五条公理：　　（1）1是正整数;　　（2）1不是任何正整数的后继者;　　（3）每一个正整数a都是一个后继者;　

6、　（4）若a与b的后继者相等，则a与b也相等;　　（5）若有一个由正整数组成的集合S含有1，又若当S含有任一数a时，它一定也含有a的后继者，则S就含有全部正整数。　　正整数理论的建立，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定。数学归纳法原理可表述为：设p（n）是与自然数n有关的一个命题，如果p（1）成立，若p（k）成立，则p（k+1）成立，那么p（n）对一切正整数n都成立。　　数学归纳法有着许多变种，但它的本质还是“1对;假设k对，k+1也对”，理解它并掌握，那么我们也可以变着法子来运用。8　　在数学归纳法的证法里，它的两个命题都是不可缺少的。即便它是对在n等于1

7、乃至n等于1万都成立，它对于任何自然数是否都成立呢？这却是并不一定的。这样，对于后面那个命题，一般不会被我们遗忘。但是，值得注意的是，我们不能以为“当n=1时，这个命题是正确的”这句话简单而忽略它。在证题时，如果只证了“假设当n=k时，这个命题是正确的，那么当n=k+1时，这个命题也是正确的”，那么这个证明是不完整的、不正确的，它甚至会得出非常荒谬的结论。　　如：所有的正整数都相等。　　这个命题显然是荒谬的。但是如果我们忽略掉“1对”，那么可以用那个不完整的“数学归纳法”来“证明”它。　　首先，我们假设“第k-1个正整数等于第k个正整数”是正确的，即k-

8、1=k;　　这时两边都加1，则得k=k+1，即　　“第k个正整数等于第k+1个正