概率论应用论文概率统计论文

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1、概率论应用论文概率统计论文第9卷第9期南阳师范学院学报Vo.l9No92010年9月JournalofNanyangNormalUniversitySep.2010收稿口期:2010-06-20基金项目:河南省教育厅自然科学基金资助课题2009B100017南阳师范学院教研项目作者简介:崔小兵1980-河南镇平人硕士助教主要从事概率统讯方面研究•概率论中不同条件下的Jensen不等式及应用崔小兵南阳师范学院数学与统计学院河南南阳473061摘要:介绍了概率论中离散型、连续型和条件期望型的Jensen不等式利用凸函数的性质、期望和条件期望的性质来证明并应用

2、于证明和式不等式、最小风险估计和条件期望收敛等一些问题•关键词:概率论不等式凸函数证明中图分类号：0211.1文献标识码:A文章编号:1671-6132201009-0022-02概率不等式是概率论和数理统计的理论研究中的重要工具•对于概率极限理论和统计大样本理论几乎所有重要结果的论证都是借助于概率不等式的巧妙应用1Jensen不等式就是其中著名的一个.接下来将给出不同条件下的Jensen不等式和证明并应用其来解决一些相关问题.1不同条件下的Jensen不等式Jensen不等式的形式有多种经典的如下:如果fx为连续实值凸函数口xlx2xnnilili©6

3、@60订2n则有nilifxi@6@6fn订ixi2.在概率论中Jensen不等式有:离散型、连续型、条件期望型和中位数型等形式•下面将给出最常用的前三种形式•不等式13设fx是ab上的凸函数X是取值于ab上子集A的离散型随机变量E表示期架则lEfX©6©6fEX2如果fx是严格凸的则不等式中等号当且仅当PXEX1时成立.证明1对X取值的个数归纳证明•首先对两点分布:Xpxlpx2简记plpxlp2px2.注意到pll-p2则EfXplfxlp2fx2令6令6fp1xlP2x2fEX.其屮©6令6成立应用了fx的凸函数性质现假设X的值域A中元素个数为n-

4、ln^6^62Axlx2xn-l时不等式1中的1成立•则对A中元素个数为nn©6©62Axlx2xn吋简记pipxipipil-pnil2n则有plp2pn-l是一个概率分布从而有EfXpIfxlp2fx2pnfxn1-pnn-lilpifxipnfxn铳铳pnfxn1-pnfn-lilpixi©6@6pnfxnl-pnfn-l订pixifn订pixifEX・2若fx是严格凸的则总有EfX©6©6fEX成立除非当且仅当PXEX1时EfXfEX成立.不等式21设X是m维随机向量fx为定义在Rm上的凸函数ml2其中EXffiXcx-EX成立因而当且仅当PXE

5、X1时EfXfEX成立.不等式34设fx是连续凸函数X为关于g为可积的随机变量则fX关于g的条件期望存在且有fEXgEfXg几乎必然成立.证明令fx为fx的右导数则对任意实数x与y有fxy-x@6@6fy-fx以EXg及X代替上式中的x与y得fEXgX-EXgfEXgfX记上式左边的随机变量为Y则Y关于g的条件期望存在且EYgffiXg.特别地由于fX-Y-故EfX-gEY-g0bi0il2n.函数fttlogt是严格凸函数因ftltlogeOtO由Jensen不等式1可得nilifti@6^6fn订iti对i©6©60n订订成立.取ibi/nj1bjt

6、iai/bii12n得ni1ainj1bjlogaibi^6^6ni1ainj1bjlogni1ainj1bj两边除去1/njlbj即得nilailogaibi@6@6nilailogn订ai/rdlbi成立其中等号成立的充要条件是ai/bi为常数il2n.例2每有一个无偏的随机化估计g则必可找到一个非随机化估计gl其风险总不比g的风险大其中损失函数La为凸的•证明现设随机化估计gxda是g的一个无偏估计.基于g作一个非随机化估计gl:glxRmagxda则由g的无偏估计推出gl的无偏性.由Jensen不等式2有LglxRmLagxda因此Rg1ELg1

7、XRmLagXda.Rg.即每有一个无偏的随机化估计g则必可找到一个非随机化估计gl其风险总不比g的风险大•例3设T为g的一个充分统计量若损失函数La为凸的则基于T的无偏估计ht即为g的无偏一致最小风险估计•证明设gx为g任意无偏估计考虑条件期望htEgXTt由T的充分性知此条件期望与无关因而hthtx可作为g的一个估计.由于EhTXEEgXTEgXg则hthtx为g的一个无偏估计•由La的凸性用Jensen不等式2易得Rg^6^6Rh故基于T的无偏估计ht即为g的无偏一致最小风险估计•例4设Xn铳铳Xa.sas•表示几乎必然下同且EX-lg