高考数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积及运用练习（含解析）

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1、5.3平面向量数量积【套路秘籍】---千里之行始于足下1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影

6、a

7、cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

8、b

9、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

10、a

11、与b在a的方向上的投影

12、b

13、cosθ的乘积拓展：向量数量积不满足：①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c；②结合律，即(a·b)·c⇏a

14、·(b·c)．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b.(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模

15、a

16、＝

17、a

18、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

19、a·b

20、与

21、a

22、

23、b

24、的关系

25、a·b

26、≤

27、a

28、

29、b

30、

31、x1x2＋y1y2

32、≤5．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等

33、问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义

34、a

35、＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向

36、量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一数量积基本运算【例1】（1）平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，

37、b

38、＝2，则

39、3a＋b

40、等于(　　)A．13＋6B．2C.D.（2）已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且

41、a

42、＝2，

43、b

44、＝1，则a与b的夹角为______．（3）已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则

45、＋＋

46、的最大值为(　　)A．6B．7C．

47、8D．9【答案】（1）D（2）（3）B【解析】（1）　依题意得

48、a

49、＝，a·b＝×2×cos45°＝2，∴

50、3a＋b

51、＝＝＝＝，故选D.（2）∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，又

52、a

53、＝2，

54、b

55、＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.（3）　解法一：由圆周角定理及AB⊥BC，知AC为圆的直径．故＋＝2＝(－4,0)(O为坐标原点)．设B(cosα，sinα)，∴＝(cosα－2，sinα)，∴＋＋＝(cosα－6，sinα)，

56、＋＋

57、＝＝≤＝7，当且仅当cosα

58、＝－1时取等号，此时B(－1,0)，故

59、＋＋

60、的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得＋＝2(O为坐标原点)，又＝＋，∴

61、＋＋

62、＝

63、3＋

64、≤3

65、

66、＋

67、

68、＝3×2＋1＝7，当且仅当与同向时取等号，此时B点坐标为(－1,0)，故

69、＋＋

70、max＝7.故选B.【套路总结】一．平面向量数量积的类型及求法：1.平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.2.求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.二．求解平面向量模的方法1.写出有关向量的坐标，利用公式

71、a

72、＝即可．2.当利用向量的线性运算和向量

73、的数量积公式进行求解，

74、a

75、＝.三．求平面向量的夹角的方法1.定义法：cosθ＝，注意θ的取值范围为[0，π]．2.坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝.3.解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．四．求向量模及最值(范围)的方法1．代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解2．几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解3．利用绝对值三角不等式

76、

77、a

78、－

79、b

80、

81、≤

82、a±b

83、≤

84、a

85、＋

86、b

87、求模的取值范围【举一反三】1.设向量a，b满足

88、a

89、＝2，

90、b

91、

92、＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为________．【答案】　【解析】　由题意得a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cosα＝4－2cosα＝3，∴cosα＝，∵0